2.3.1.6 Koondbimoment talal

Näide 2.6 (koondbimoment talal). Koostada joonisel 2.18 kujutatud tala väändenurga θ , vabaväändemomendi T_t, bimomendi B_ω ja kooldeväändemomendi T_ω epüürid.

**Joonis 2.18.** Koondbimoment talal
$\includegraphics[width=110mm]{joonised/NaideYlekand6.eps}$

Andmed. Varda pikkus $l = 6.0\hspace*{1pt}\mathrm{m}$ . Tala on ekstsentriliselt koormatud koondmomendiga $M_{y} = 8 \hspace*{1pt}\mathrm{kN\hspace*{-2pt}\cdot\hspace*{-2pt}cm}$ ( $B_{y} = 40.0\hspace*{1pt}\mathrm{kN\hspace*{-2pt}\cdot\hspace*{-2pt}cm^{2}}$ ). Vertikaalse koondmomendi $M_{y}$ ekstsentrilisus $e = 5\hspace*{1pt}\mathrm{cm}$ . Ristlõike kooldejäikus $\mathrm{(}$ EI_ω = $3.6288\hspace*{-2pt}\times\hspace*{-3pt}10^{6}\hspace*{1pt}\mathrm{kN}\hspace*{-2pt}\cdot\hspace*{-2pt}\mathrm{m^{4}}\mathrm{)}$ , vabaväändejäikus $\mathrm{(}$ GI_t = $2.2680\hspace*{-2pt}\times\hspace*{-3pt}10^{5}\hspace*{1pt}\mathrm{kN}\hspace*{-2pt}\cdot\hspace*{-2pt}\mathrm{m^{2}}\mathrm{)}$ ja kooldekarakteristik $\mathrm{(}$ κ = $\sqrt{GI_{t}/E\hspace*{1pt}I_{\omega}} = \sqrt{2.2680\hspace*{-2pt}\times\hspa... ...pt}\times\hspace*{-3pt}10^{14}} = 0.0025\hspace*{1pt}\mathrm{cm^{-1}}\mathrm{)}$ on konstantsed.

Lahendus. Vaatleme tala ühe elemendina, siis sisesidemed [Jür85, lk 8-9] puuduvad. Rajatingimuste $W_{r}$ seadmisel on arvestatud energiateoreemi (B.8).

$\displaystyle W_{r} = \left[ T_{sum}{\theta} - B_{\omega}{\theta^{\prime}} - b_{\omega}{\theta} \right]\bigm\vert _{0}^{l}$

(2.124)

Siit saab jälgida, milline rajatingimus on antud ja milline leitakse. Esimese toe toetingimuste paarides $T_{sum}\Leftrightarrow {\theta}$ ja $B_{\omega}\Leftrightarrow {\theta^{\prime}}$ on antud väändenurk θ $ = 0$ ja bimoment B_ω $ = 0$ . Tundmatud on koguväändemoment T_sum = T_t + T_ω ja suhteline väändenurk θ^' ( $T_{t} = GI_{t}\theta^{\prime}$ ).

Varda lõpus on antud väändenurk θ $ = 0$ ja bimoment B_ω $ = 0$ . Tundmatuks jäävad koguväändemoment T_sum = T_t + T_ω ja suhteline väändenurk θ^' ( $T_{t} = GI_{t}\theta^{\prime}$ ).

Rajaväärtuste arvutamiseks kasutame nagu EST-meetodi [Lah97a], [Lah14] puhulgi hõredat võrrandisüsteemi ^2.23

$\displaystyle \mathbf{spA}\bm{\cdot}\mathbf{Z} = \mathbf{B}$

(2.125)

kus $\mathbf{Z}$ on võrrandisüsteemi tundmatute vektor

$\displaystyle \mathbf{Z} = \mathbf{\widehat{Z}} = \left[\begin{array}{c} \mathbf{Z_{a}} \\ \mathbf{Z_{b}} \end{array}\right]$

(2.126)

mille elementideks on väändenurgad ja -momendid varda alguses ja lõpus (jn 2.19):

$\displaystyle \mathbf{Z_{a}} = \left[\begin{array}{c} {\theta}_{A} \\ {T_{t}}_... ...,1\right) \\ Z\left(7,1\right) \\ Z\left(8,1\right) \end{array}\right] \qquad$

(2.127)

Muutuja $Z\left(i,1\right)$ indeks (i=1, 2, 3, $\ldots$ , 8) on toodud joonisel 2.13.

**Joonis 2.19.** Koondbimoment. Muutujad
$\includegraphics[width=100mm]{joonised/Naide26aMuutujad.eps}$

Põhivõrrandites (2.84) [Lah12, jn 14.9] ^2.24

$\displaystyle \mathbf{\widehat{UI}}_{4\times 8}\bm{\cdot}\mathbf{\widehat{Z}} = \mathbf{-\stackrel{\rm\circ}{Z}}$

(2.128)

sisalduva laiendatud ülekandemaatriksi $\mathbf{\widehat{UI}}_{4\times 8} \equiv \boldsymbol{\left( U_{4\times 4}\mid -I_{4\times 4}\right)}$ (2.87) arvutamiseks saab kasutada GNU Octave'i funktsiooni yspWGvfmhvI.m.

Võrrandisüsteemis (2.128) on tundmatuid poole rohkem kui võrrandeid. Kanname need võrrandid võrrandisüsteemi (2.125) (vt väljavõte programmist 2.16).

Väljavõte programmist 2.16 ( Naide2_6.m )

            
            # Tala hõreda laiendatud ülekandemaatriksi arvutus 
spvF=yspWGvfmhvI(baasi0,l,GIt,EIw); 
vB=yzWGBy(baasi0,l,l,a,By,GIt,EIw); # koormusvektori arvutus
IIv=1;
IJv=1;
vB=vB.*(-1);
            # sisestab ülekandemaatriksi võrrandisüsteemi spA*Z=Bvb
spA=spInsertBtoA(spA,IIv,IJv,spvF);    
%            # sisestab koormusvektori võrrandisüsteemi vabaliikmesse Bv
Bvb=InsertBtoA(Bvb,NNK,1,IIv,1,vB,4,1);  
            # võrrandisüsteemi vabaliige Bvb on eelnevalt nullitud

Võrrandisüsteemis (2.125) peab olema võrrandeid ja tundmatuid ühepalju. Võrrandite arv peab ühtima maatriksi $\mathbf{spA}$ astakuga. Puuduvad sõltumatud võrrandid saame kinemaatilistest ja staatilistest rajatingimustest (vt jaotis 3.1).

Edasi

-: püstitame rajatingimused;
-: arvutame algparameetrid;
-: arvutame väändenurgad ja väändemomendid;
-: koostame sisejõudude epüürid.

Rajatingimuste püstitus. Väliste rajatingimuste seadmisel tuleb arvestada energiateoreemi ^2.25 (B.8). Kui avaldistes ${\theta}\Leftrightarrow T_{sum}$ , ${\theta^{\prime}}\Leftrightarrow {B_{\omega}}$ üks pool (pöördenurk $\theta$ , bimoment $B_{\omega}$ ) on antud, siis teine pool (koguväändemoment $T_{sum}$ , suhteline väändenurk ${\theta^{\prime}}$ ) on tundmatu.

Tala toed sõlmedes a ja b ei võimalda pööret $\mathrm{(}$ θ $ = 0$ $\mathrm{)}$ , kuid kooldumine on vaba: B_ω $ = 0$ (vt tabel 1.2). Tundmatud on suhteline väändenurk θ^' ja koguväändemoment T_sum.

$\begin{displaymath}\begin{array}{lclccl} Z\left(1,1\right) & = & {\theta_{A}} & ... ...& {B_{\omega\, L}} & = & 0 & \end{array}<tex2html_comment_mark>\end{displaymath}$

(2.129)

Koostatud on neli rajatingimuse võrrandit. Sisestame need võrrandisüsteemi (2.125) (vt väljavõte programmist 2.17). Võrrandisüsteemi astak võrdub tundmatute arvuga. Järelikult on sisestatud võrrandid lineaarselt sõltumatud.

Väljavõte programmist 2.17 ( Naide2_6.m )

####### Rajatingimused 
spA=spSisestaArv(spA,5,1,1);  # $theta_A$ - väändenurk
spA=spSisestaArv(spA,6,3,1);  # $B_{L}$ - bimoment 
spA=spSisestaArv(spA,7,5,1);  # $theta_A$ - väändenurk
spA=spSisestaArv(spA,8,7,1);  # $B_{L}$ - bimoment 
#vastavad vabaliikmed Bvb on juba nullitud
spA_rank = sprank(spA) # võrrandisüsteemi astak

Sisestatud võrrandisüsteemi kordajad hõredas maatriksis spA on esitatud arvutuspäeviku väljavõttes 2.20.

Väljavõte arvutuspäevikust 2.20 ( Naide2_6.m )

spA =
Compressed Column Sparse (rows = 8, cols = 8, nnz = 19 [30%])

  (1, 1) ->  1
  (5, 1) ->  1
  (1, 2) -> -2645.5
  (2, 2) -> -1
  (1, 3) ->  5.9630
  (2, 3) ->  0.0053232
  (3, 3) -> -2.3524
  (4, 3) -> -0.0053232
  (6, 3) ->  1
  (1, 4) ->  1109.8
  (2, 4) ->  1.3524
  (3, 4) -> -851.71
  (4, 4) -> -2.3524
  (1, 5) -> -1
  (7, 5) ->  1
  (2, 6) -> -1
  (3, 7) -> -1
  (8, 7) ->  1
  (4, 8) -> -1

Sisestatud võrrandisüsteemi vabaliikmete vektor B on toodud arvutuspäeviku väljavõttes 2.21.

Väljavõte arvutuspäevikust 2.21 ( Naide2_6.m )

B =

                                                                                                                                       
  -5.1972e+04                                                                                                                                            
  -8.2232e+01                                                                                                                                            
   5.1787e+04                                                                                                                                            
   8.2232e+01                                                                                                                                            
   0.0000e+00                                                                                                                                            
   0.0000e+00                                                                                                                                            
   0.0000e+00                                                                                                                                            
   0.0000e+00

Algparameetrite arvutus. Rajaväärtuste leidmisel korrutasime väändenurgad skaleerimisteguriga: $baasi0 = 1.0\hspace*{-2pt}\times\hspace*{-2pt}10^{10}$ . Skaleerimata algparameetrite saamiseks tuleb vastavad suurused jagada skaleerimisteguriga. Tala skaleerimata algparameetrid on toodud arvutuspäeviku väljavõttes 2.22.

Väljavõte arvutuspäevikust 2.22 ( Naide2_6.m )

 Algparameetrid - AP1   
 theta -     0.00000 
    Tt -    -5.86284 
     B -     0.00000 
    Tw -   -60.80382

Väändenurkade ja väändemomentide arvutus. Väändenurkade ja väändemomentide leidmiseks tala ristlõigetes kasutame ülekandevõrrandit (C.1)

$\displaystyle \mathbf{Z_{L}\left( x\right) } = \mathbf{U}\cdot\mathbf{Z_{A}} + \mathbf{\stackrel{\rm\circ}{Z}}$

(2.130)

kus $\mathbf{Z_{A}}$ on tala algparameetrid (vt arvutuspäeviku väljavõte 2.22). Ülekandemaatriksi $\mathbf{U}$ leiame GNU Octave'i funktsiooniga ylWGfhlin.m ja koormusvektori $\mathrm{\mathbf{\stackrel{\rm\circ}{Z}}}$ funktsiooniga yzWGBy.m (vt väljavõte programmist 2.18).

Väljavõte programmist 2.18 ( Naide2_6.m )

 

AP=AlgPar(:,1)
baasi0=1.0
Nmitmeks=4
xx=0;
xsamm=l/Nmitmeks;
for ij=1:Nmitmeks+1  # 5 - displacements and forces at x=0.0   

Xloikes(ij,1)=xx;
  vvF=ylWGfhlin(baasi0,l,xx,GIt,EIw);
  vvB=yzWGBy(baasi0,l,xx,a,By,GIt,EIw);  # koormusvektori arvutus
 Fvv(1:4,ij)=vvF*AP+vvB;
 Fvv(5,ij)=Fvv(2,ij)+Fvv(4,ij);
xx=xx+xsamm;
endfor

Arvutustulemused on esitatud arvutuspäeviku väljavõttes 2.23.

Väljavõte arvutuspäevikust 2.23 ( Naide2_6.m )

baasi0 =  1
Nmitmeks =  4
k =  0.0025000
      x=       0.00       150.00        300.00       450.00       600.00
 theta -    0.000e+00    2.928e-07   -1.694e-21   -2.928e-07    0.000e+00
    Tt -    5.863e+00    1.537e+00   -1.206e+01    1.537e+00    5.863e+00
     B -    0.000e+00    9.336e+03   -2.000e+04   -9.336e+03    0.000e+00
    Tw -    6.080e+01    6.513e+01    7.872e+01    6.513e+01    6.080e+01
  Tsum -    6.667e+01    6.667e+01    6.667e+01    6.667e+01    6.667e+01

      x = 299.99999999
  theta -    5.293e-19 
     Tt -  -1.206e+01 
      B -   2.000e+04 
     Tw -  7.872e+01 
   Tsum -  6.667e+01

Leitud tulemuste põhjal koostame epüürid koondbimomendist talal (jn 2.20).

**Joonis 2.20.** Koondbimoment talal. Epüürid

$\includegraphics[width=101mm]{joonised/Naide26aEpyyrid.eps}$

`(a) Koormus B_ω = 40 kN·cm² (vt tabel 1.1)`

$\includegraphics[width=96mm]{joonised/Naide26atheta.eps}$

`(b) Väändenurk θ`

$\includegraphics[width=96mm]{joonised/Naide26aTt.eps}$

`(c) Vabaväändemoment T_t`

$\includegraphics[width=96mm]{joonised/Naide26aBw.eps}$

`(d) Bimoment B_ω`

$\includegraphics[width=96mm]{joonised/Naide26aTw.eps}$

`(e) Kooldeväändemoment T_ω`

$\includegraphics[width=96mm]{joonised/Naide26aTsum.eps}$

`(f) Koguväändemoment T_sum`

EST-meetodiga saadud tulemused on kooskõlas raamatus [Bõt62] jõu- ja deformatsioonimeetodi abil leitutega (vt tabel 2.7).

**Tabel 2.7.** Koondbimoment tala keskel. Tulemuste võrdlus
x [cm]	Z(x)	[Sad63]	Mõõtühik	EST-meetod	Mõõtühik
0.0	θ		rad	0.000×10⁰	rad
	T_t	0.57	kG·cm	5.863×10⁰	N·cm
	B_ω	0.00	kG·cm²	0.000×10⁰	N·cm²
	T_ω	6.08	kG·cm	6.080×10¹	N·cm
	T_sum	6.65 ^2.26	kG·cm	6.667×10¹	N·cm
150	θ		rad	2.928×10^–7	rad
	T_t	0.14	kG·cm	1.537×10⁰	N·cm
	B_ω	9.33×10²	kG·cm²	9.336×10³	N·cm²
	T_ω	6.51	kG·cm	6.513×10¹	N·cm
	T_sum	6.65	kG·cm	6.667×10¹	N·cm
300	θ		rad	–1.694×10^–21	rad
300	T_t	– 1.22	kG·cm	–1.206×10¹	N·cm
300 – ε	B_ω	2.00×10³	kG·cm²	2.000×10⁴	N·cm²
300	B_ω	– 2.00×10³	kG·cm²	–2.000×10⁴	N·cm²
	T_ω	7.87	kG·cm	7.872×10¹	N·cm
	T_sum	6.65	kG·cm	6.667×10¹	N·cm
450	θ		rad	–2.928×10^–7	rad
	T_t	0.14	kG·cm	1.537×10⁰	N·cm
	B_ω	– 9.33×10²	kG·cm²	–9.336×10³	N·cm²
	T_ω	6.51	kG·cm	6.513×10¹	N·cm
	T_sum	6.65	kG·cm	6.667×10¹	N·cm
600	θ		rad	0.000×10⁰	rad
	T_t	0.57	kG·cm	5.863×10⁰	N·cm
	B_ω	0.00	kG·cm²	0.000×10⁰	N·cm²
	T_ω	6.08	kG·cm	6.080×10¹	N·cm
	T_sum	6.65	kG·cm	6.667×10¹	N·cm