B.1 Väände töö

Õhukeseseinalise varda väändel tehtava töö avaldise saamiseks korrutame võrrandit

$$E\hspace*{1pt}I_{\omega}\frac{\mathrm{d^{4}}\theta}{\mathrm{d}x^{... ...{d}x^{2}} - {\,}m_{x}\left(x\right) + {\,}b^{\prime}_{\omega}\left(x\right) = 0$$ (B.1)

suvalise väändenurgaga $\hat{\theta}\left(x\right)$ ja integreerime üle varda l:

$$\int_{a}^{b}\left( E\hspace*{1pt}I_{\omega}\frac{\mathrm{d^{4}}\t... ...}b^{\prime}_{\omega}\left(x\right)\right)\hat{\theta}\left(x\right) \mathrm{d}x$$ (B.2)

Saadud võrrandi parempoolne liige väljendab väliskoormuse tööd $W_{v}$ väändel $\hat{\theta}$. Lisame koondkoormuse $M_{x{\,}i}$ töö ( $M_{x{\,}i}\hat{\theta}_{i}$) varda telje punkti i siirdel $\hat{\theta}_{i}$. Seega

$$W_{v} = \int_{a}^{b}\left( {\,}m_{x}\left(x\right) - {\,}b^{\prim... ...ight)\right)\hat{\theta}\left(x\right) \mathrm{d}x + M_{x{\,}i}\hat{\theta}_{i}$$ (B.3)

Nii nagu varda paindel [Lah12, lk 685], saame sise- ja rajajõudude töö avaldised võrrandi (B.2) vasakut poolt ositi integreerides (vt (1.38)).

Alustame võrrandi (B.2) vasaku poole esimesest liikmest:

$$\int_{0}^{l}\underbrace{\hat{\theta}}_{u}\underbrace{\frac{\mathr... ...\theta}{\mathrm{d}x^{2}}\right)}_{-T_{\omega}}\hat{\theta}\bigm\vert _{0}^{l} -$$

$$\int_{0}^{l}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\underbrace{\left(EI_{\... ...\frac{\mathrm{d}\hat{\theta}}{\mathrm{d}x} }_{\hat{\theta}^{\prime}}\mathrm{d}x$$ (B.4)

Nüüd integreerime avaldise (B.4) viimast liiget:

$$-{\,}\int_{0}^{l}\underbrace{\frac{\mathrm{d}\hat{\theta}}{\mathr... ...\hat{\theta}}{\mathrm{d}x^{2}} }_{\hat{\theta}^{\prime\prime}}\mathrm{d}x \quad$$ (B.5)

Võrrandi (B.2) vasaku poole teist liiget integreerides võtame $u$ ja $\mathrm{d}v$ järgmiselt:

$$-{\,}\int_{0}^{l}\underbrace{\hat{\theta}}_{u}\underbrace{ \frac{... ...{\frac{\mathrm{d}\hat{\theta}}{\mathrm{d}x}}_{\hat{\theta}^{\prime}}\mathrm{d}x$$ (B.6)

Integreerime veel ositi võrrandi (B.2) parema poole teist liiget, võttes $u$ ja $\mathrm{d}v$ järgmiselt:

$$- {\,}\int_{0}^{l} \underbrace{\hat{\theta}\left(x\right)}_{u} \u... ...{0}^{l} + \int_{0}^{l}b_{\omega}\hspace*{2pt}{\hat{\theta}^{\prime}}\mathrm{d}x$$ (B.7)

Arvestades avaldisi (B.4), (B.5), (B.6) ja (B.7), võime võrrandi (B.2) esitada virtuaaltööde (passiivtööde) summana:

$$\underbrace{\left[\left( T_{sum} - b_{\omega}\right)\hat{\theta} ... ...{d}x \right]\mathrm{d}x}_ {W_{s} - \text{ sisej{\~o}udude t{\uml o}{\uml o}}} +$$

$$\underbrace{\int_{a}^{b}\left( {\,}m_{x}\left(x\right)\hat{\theta... ...+ M_{x{\,}i}\hat{\theta}_{i}}_ {W_{k} - \text{ koormuse t{\uml o}{\uml o}}} = 0$$ (B.8)

Siin on arvestatud, et vabaväändemoment $T_{t}$ ja kooldeväändemoment $T_{\omega}$ moodustavad koguväändemomendi $T_{sum} = T_{t} + T_{\omega}$.

Võttes arvesse, et rajajõudude töö $W_{r}$ ja koormuse töö $W_{k}$ summa moodustab välisjõudude töö $W_{v} = W_{r} + W_{k}$, saame elastsete varrassüsteemide energiateoreemi [Din11, lk 112]

$$W_{s} + W_{v} = 0$$ (B.9)

sõnastuse: sise- ja välisjõudude tööde summa võimalikel siiretel ^5.1 võrdub nulliga.

Rajajõudude töö avaldisele võib anda kuju

$$W_{r} = \left[\left( T_{sum} - b_{\omega}\right)\hat{\theta} - B_... ...omega}\hat{\theta} - B_{\omega}\hat{\theta^{\prime}} \right]\bigm\vert _{0}^{l}$$ (B.10)

Sisejõudude töö saab avaldada ka nii:

$$W_{s} = - \int_{0}^{l}\left[ {T_{t}}{\hat{\theta}^{\prime}} - {B_... ...rm{d}x - \int_{0}^{l}\frac{B_{\omega}\hat{B_{\omega}}}{EI_{\omega}} \mathrm{d}x$$ (B.11)

Siin on kasutatud vabaväändemomendi $T_{t}$ ja bimomendi $B_{\omega}$ avaldisi

$$\hat{\theta^{\prime}} = \frac{\hat{T_{t}}}{GI_{t}}, \qquad \quad \hat{\theta^{\prime\prime}} = - \frac{\hat{B_{\omega}}}{EI_{\omega}}$$ (B.12)