1.6.2 Seos bimomendi ja kooldeväändemomendi vahel

Bimomendi B_ω (1.17) ja kooldeväändemomendi T_ω (1.28) vahelise seose otsimist alustame avaldisest

$${B_{\omega}} = \int_{A}\sigma_{\omega}\hspace*{1pt}{\omega}\hspace*{1pt}\mathrm{d}A$$ (1.35)

mida diferentseerime muutuja $x$ järgi:

$$\frac{\mathrm{d}B_{\omega}}{\mathrm{d}x} = \int_{A}\frac{\mathrm{d}\sigma_{\omega}}{\mathrm{d}x}\hspace*{1pt}{\omega}\hspace*{1pt}\mathrm{d}A$$ (1.36)

Asendame siin kooldenormaalpinge tuletise ${\mathrm{d}\sigma_{\omega}}/{\mathrm{d}x}$ kooldenihkepinge tuletisega $- {\mathrm{d}\tau_{\omega}}/{\mathrm{d}s}$ (vt avaldis (1.34)) ja pinnaelemendi $\mathrm{d} A$ keskjoone pikkusele vastava elemendiga $\mathrm{d}s$ ( $\mathrm{d}A = {\delta \hspace*{1pt}\mathrm{d}}s$):

$$\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}x} = - \hspace*{1pt}\int_{A}\frac{\m... ...}{\omega}\hspace*{1pt}{\mathrm{d}\left(\tau_{\omega}\hspace*{1pt}\delta\right)}$$ (1.37)

Integreerime võrrandi (1.37) parempoolseimat liiget ositi valemi

$$\int_{a}^{b}udv = uv\mid_{a}^{b} - \int_{a}^{b}vdu$$ (1.38)

järgi, võttes $u$ ja $dv$ järgmiselt:

$$\int_{a}^{b}\underbrace{\omega}_{u}\underbrace{ \mathrm{d}\left(\tau_{\omega}\hspace*{1pt}\delta\right)}_{dv}$$

Saame avaldise

$$\frac{\mathrm{d}B_{\omega}}{\mathrm{d}x} = - \hspace*{1pt}\tau_{\... ...*{1pt}\int_{A}\tau_{\omega}\hspace*{1pt}{\delta}\hspace*{1pt}\mathrm{d}{\omega}$$ (1.39)

Siin võrdub esimene parempoolne liige $-\tau_{\omega}\hspace*{1pt}{\delta}\hspace*{1pt}{\omega}\mid_{A}$ nulliga, sest varda välispinnal (sektorkoordinaadi ${\omega}\mid_{a}^{b}$ äärmistes punktides) kooldenihkepinged puuduvad: $\tau_{\omega\hspace*{1pt}b} = 0$, $\tau_{\omega\hspace*{1pt}a} = 0$.

$$- \hspace*{1pt}\tau_{\omega}\hspace*{1pt}{\delta}\hspace*{1pt}{\o... ...+ \tau_{\omega\hspace*{1pt}a}\hspace*{2pt}{\delta}\hspace*{1pt}{\omega}_{a} = 0$$ (1.40)

Võrrandis (1.39) teeme asenduse $\mathrm{d}{\omega} = r\mathrm{d}s$ (vt jaotis ):

$$\frac{\mathrm{d}B_{\omega}}{\mathrm{d}x} = \hspace*{1pt}\int_{A}\... ...{d}s = \hspace*{1pt}\int_{A}\tau_{\omega}\hspace*{1pt}r\hspace*{1pt}\mathrm{d}A$$ (1.41)

Avaldiste (1.41) ja (1.28) võrdlusest saame

$$\frac{\mathrm{d}B_{\omega}}{\mathrm{d}x} = {T_{\omega}}$$ (1.42)

kus ${\mathrm{d}B_{\omega}}/{\mathrm{d}x}$ - bimomendi tuletis varda teljesuunalise koordinaadi $x$ järgi - on võrdne kooldeväändemomendiga T_ω.

Seostest (1.19) ja (1.42) saame kooldeväändemomendi ${T_{\omega}}$:

$${T_{\omega}} = -\hspace*{1pt}E\hspace*{1pt}I_{\omega}\theta^{\prime\prime\prime}$$ (1.43)