1.5 Tasakaaluvõrrandid ristlõike kõverdumisel

Vaatleme pingete jaotust ristlõikes takistatud väändel:

• vabaväändele vastavad nihkepinged $\tau_{t}$ (jn 1.12 a) ristlõike keskjoonel (jn A.1) puuduvad, seina paksuses muutuvad lineaarselt;
• kooldenormaalpinged σ_ω (jn 1.13) on seina paksuses konstantsed;
• kooldenihkepinged τ_ω (jn 1.12 b) on seina paksuses konstantsed.

Joonis 1.11. Kooldenormaalpinged U-profiilis

	(a) U-profiili keskpind	(b) Kooldenormaalpinged

Õhukeseseinalise varda ristlõikes moodustavad kooldenormaalpinged isetasakaalustuva süsteemi. Selle süsteemi kirjeldamisel seame järgmised tingimused:

• varda ristlõikes puudub pikijõud ${N_{x\hspace*{1pt}\omega}}$:
  

  $${N_{x\hspace*{1pt}\omega}} = \int_{A}\sigma_{\omega}\hspace*{1pt}\mathrm{d} A = 0 %\cdot$$ (1.24)

• varda ristlõikes puudub paindemoment y-telje suhtes ${M_{y\hspace*{1pt}\omega}}$:
  

  $${M_{y\hspace*{1pt}\omega}} = \int_{A}\sigma_{\omega}\hspace*{1pt}z\hspace*{1pt}\mathrm{d} A = 0 %\cdot$$ (1.25)

• varda ristlõikes puudub paindemoment z-telje suhtes ${M_{z\hspace*{1pt}\omega}}$:
  

  $${M_{z\hspace*{1pt}\omega}} = \int_{A}\sigma_{\omega}\hspace*{1pt}y\hspace*{1pt}\mathrm{d} A = 0 %\cdot$$ (1.26)

• koguväändemoment T_sum on võrdne vabaväändemomendi T_t (jn 1.12 a) ja kooldenihkepingetele vastava väändemomendi T_ω (jn 1.12 b) algebralise summaga:
  

  $${T_{sum}}= {T_{x\hspace*{1pt}t}} + {T_{x\hspace*{1pt}\omega}}, \q... ...1pt}t}} + \int_{A}\tau_{\omega}\hspace*{1pt}r\hspace*{1pt}\mathrm{d} A %\cdot$$ (1.27)

Joonis 1.12. Väändemomendid

	(a) Nihkepinged vabaväändel	(b) Nihkepinged takistatud väändel

Tingimus (1.27) annab seose välise väändemomendi ja takistatud väände komponentide vahel.

Kooldenihkepingetele vastav kooldeväändemoment{ T_ω saadakse kooldenihkepinge $\tau_{\omega}$ korrutamisel lõiguga $r$ ja integreerimisel ristlõike pindala A ulatuses. Lõik $r$ on sektorkoordinaadi pooluse kaugus keskjoone puutujast (vt jaotis A.1), mis läbib vaadeldavat kooldenihkepinge rakenduspunkti.

$${T_{x\hspace*{1pt}\omega}} = \int_{A}\tau_{\omega}\hspace*{1pt}r\hspace*{1pt}\mathrm{d} A %\cdot$$ (1.28)

Tingimuses (1.24) asendame $\sigma_{\omega}$ tema avaldisega (1.15):

$$\int_{A}\sigma_{\omega}\hspace*{1pt}\mathrm{d} A = -\hspace*{1pt}... ...quad \Rightarrow \quad \int_{A}\omega\hspace*{1pt}\mathrm{d} A = S_{\omega} = 0$$ (1.29)

Siit leiame, et sektorkoordinaat $\omega$ algab peanullpunktis ($S_{\omega} = 0$, vt avaldist (A.52)).

Joonis 1.13

Joonis 1.13. Kooldenormaalpinged

Tingimustest (1.25) ja (1.26) leiame pooluse, mille puhul sektortsentrifugaalmomendid $I_{\omega\hspace*{2pt}y}$ (A.41), $I_{\omega\hspace*{2pt}z}$ (A.42) on võrdsed nulliga. Leitud poolus on lõikekese (vt jaotis A.5).

$${M_{y\hspace*{1pt}\omega}} = \int_{A}\sigma_{\omega}\hspace*{1pt}... ... \quad \int_{A}\omega z\hspace*{1pt}\mathrm{d} A = I_{\omega\hspace*{1pt}z} = 0$$ (1.30)

$${M_{z\hspace*{1pt}\omega}} = \int_{A}\sigma_{\omega}\hspace*{1pt}... ... \quad \int_{A}\omega y\hspace*{1pt}\mathrm{d} A = I_{\omega\hspace*{1pt}y} = 0$$ (1.31)

Kirjanduses [Jür85, lk 229] on väljendi lõikekese sünonüümina kasutatud ka terminit paindekese (sks Schubmittelpunkt e Drillruhepunkt, ingl bending center e twist center, vn e ).