1.4 Kooldenormaalpinged

Normaalpingete leidmiseks takistatud väändel kasutatakse Hooke'i^1.11 seadust:

$$\sigma = E\hspace*{1pt}\epsilon$$ (1.14)

Tegurit $E$ seoses (1.14) nimetatakse (normaal)elastsusmooduliks (ka Youngi^1.12 mooduliks). Asendades deformatsiooni $\epsilon$ avaldises (1.14) tema avaldisega (1.13), saame

$$\sigma_{\omega} = -\hspace*{1pt}E\hspace*{1pt}\omega\hspace*{1pt}\theta^{\prime\prime}$$ (1.15)

kus

• σ_ω – kooldenormaalpinged;
• ω – sektorpindala ehk sektorkoordinaat (vt jaotis A.1);


• $\theta^{\prime\prime}$ – väändenurga θ teine tuletis koordinaadi $x$ järgi.

Praktilisteks arvutusteks moodustame kooldenormaalpinge $\sigma_{\omega}$ ja bimomendi B_ω (jn 1.4) vahelise seose analoogiliselt tugevusõpetuses kasutatava normaalpinge $\sigma$ ja paindemomendi $M$ vahelise seosega [KMPR12]. Korrutame avaldist (1.15) sektorkoordinaadiga $\omega$ ja ristlõike elementaarpindalaga $\mathrm{d} A$ ning integreerime pindala A ulatuses.

$$\int_{A}\sigma_{\omega}\hspace*{1pt}{\omega}\hspace*{1pt}\mathrm{... ...-\hspace*{1pt}E\theta^{\prime\prime}\int_{A}\omega^{2}\hspace*{1pt}\mathrm{d} A$$ (1.16)

Seose (1.16) vasakpoolset suurust nimetame bimomendiks B_ω .

$$B_{\omega} = \int_{A}\sigma_{\omega}\hspace*{1pt}{\omega}\hspace*{1pt}\mathrm{d} A$$ (1.17)

Seose (1.16) parempoolne integraal määrab sektorinertsimomendi $I_{\omega}$ (A.60):

$$I_{\omega} = \int_{A}\omega^{2}\mathrm{d}A %\cdot$$ (1.18)

Võttes arvesse bimomendi $B_{\omega}$ ja sektorinertsimomendi $I_{\omega}$ avaldised (1.17), (1.18), saame seose (1.16) esitada kujul

$$B_{\omega} = -\hspace*{1pt}E\hspace*{1pt}I_{\omega}\theta^{\prime\prime}$$ (1.19)

Bimoment $B_{\omega}$ õhukeseseinalise varda ristlõikes on momendipaar (jn 1.4), mis staatilises mõttes on tasakaalustatud. Bimomendi leidmist vaatleme edaspidi. Avaldame suuruse $E\hspace*{1pt}\theta^{\prime\prime}$ seosest (1.19):

$$-\hspace*{1pt}E\hspace*{1pt}\theta^{\prime\prime} = \frac{B_{\omega} }{I_{\omega}}$$ (1.20)

Saadud avaldise paigutame seosesse (1.15):

$$\sigma_{\omega} = \frac{B_{\omega}\omega}{I_{\omega}}$$ (1.21)

Bimoment $B_{\omega}$ ja sektorinertsimoment I_ω ristlõikes ei muutu. Muutub ainult sektorkoordinaat $\omega$. Seega sarnaneb kooldenormaalpingete $\sigma_{\omega}$ epüür sektorkoordinaadi $\omega$ epüüriga.

Raamatus [HIM11, lk 3] toodud märkuses rõhutatakse, et bimomendi ja kooldemomendi mõistet ei tohi segi ajada. Bimomendi suuruseks on jõud korrutatud pikkuse ruuduga, kooldemomendi suuruseks aga jõu ja pikkuse korrutis.

$$M_{\omega} = \mp\hspace*{1pt}\frac{E\hspace*{1pt}I_{\omega}}{\left(h - t_{f}\right)}\theta^{\prime\prime}$$ (1.22)

kus

• $h$ – ristlõike kõrgus;
• $t_{f}$ – vöö paksus^1.13.

Kooldemomendi märgi ($\mp$) määrame vastavalt bimomendi märgireeglile (jn 1.18). Vaadates piki momendipaari õlga, tuleb avaldises (1.22) vaatajapoolse momendi määramisel võtta miinusmärk, vaatajast kaugema momendi määramisel aga plussmärk. Vaatajapoolne moment on positiivne pöördumisel vastupäeva. Vaatajast kaugem moment on positiivne pöördumisel päripäeva. Siin on kasutatud parema käe teljestiku (jn A.3) märgireegleid.

Näide 1.1 (kooldenormaalpingete epüür).   Koostada kooldenormaalpingete epüür joonisel 1.10 a toodud U-profiili ristlõikele. Ristlõikes mõjub bimoment $B = 0.59\hspace*{1pt}\mathrm{kN}\hspace*{-2pt}\cdot\hspace*{-2pt}\mathrm{m}^{2}$

Joonis 1.10.  U-profiili peasektorkoordinaadid

	(a) U-profiil	(b) Peasektorkoordinaadid

Joonisel 1.10 a toodud ristlõike sektorkoordinaatide $\omega_{i}$ arvutus on toodud näites A.6: $\omega_{1} = -51.9\hspace*{1pt}\mathrm{cm}^{2},{\;}\omega_{2} = 31.3\hspace*{1... ...3\hspace*{1pt}\mathrm{cm}^{2},{\;}\omega_{4} = 51.9\hspace*{1pt}\mathrm{cm}^{2}$. Ristlõike sektorinertsimoment I_ω $\hspace*{1pt} = 19\hspace*{1pt}226\hspace*{1pt}\mathrm{cm}^{6}$ (A.62). Kooldenormaalpinged σ_ω on võrdelised sektorkoordinaatidega $\omega$ (jn 1.10 b).

$$\begin{array}{lcl} \sigma_{\omega 1} & = & \frac{B_{\omega}\o... ...\mathrm{N/cm^{2}} = 159.27\hspace*{1pt}\mathrm{MPa} \end{array}$$ (1.23)

Kooldenormaalpingete $\sigma_{\omega_{i}}$ (1.21) epüür on esitatud joonisel 1.11.