1.3 Siirete ja deformatsioonide vahelised seosed

Vaatleme nüüd õhukeseseinalise varda siirete ja deformatsioonide vahelisi seoseid. Nendes seostes arvestatakse järgmisi hüpoteese [Vla59]:

• õhukeseseinalise varda keskpinnal võib hüljata nihkedeformatsioonid ehk nihkemoonded (vt [KMPR12, lk 109]), s.t keskpinnal on nihkenurk $\gamma \approx 0$;
• õhukeseseinalise varda ristlõike kontuur ei deformeeru, s.t kaugus ristlõike kahe punkti vahel ei muutu.

Esimese hüpoteesi selgitamiseks vaatleme õhukeseseinalise varda keskpinnal (jn A.1) ristkülikulist elementi PRQD mõõtmetega $dx\times ds$ (jn 1.5).

Joonis 1.5. Ristkülik keskpinnal

Nihkedeformatsiooni varda keskpinnal käsitleme kui kõrgemat järku väikest suurust: $\gamma \approx 0$.

Ristkülikulise elemendi punkti $P$ (jn 1.6) siirete komponendid koordinaadi $x$ ja sektorkoordinaadi $s$ (vt jaotis A.1) suunas tähistame vastavalt $u\left(x,s\right)$ ja $v\left(x,s\right)$. Ristkülikulise elemendi punkti $R$ siirete komponendid

$$u_{R} = u + \frac{\partial u}{\partial x}\hspace*{1pt}\mathrm{d}x... ...quad v_{R} = v + \frac{\partial v}{\partial x}\hspace*{1pt}\mathrm{d}x %\cdot$$ (1.3)

ja punkti $Q$ siirete komponendid

$$u_{Q} = u + \frac{\partial u}{\partial s}\hspace*{1pt}\mathrm{d}s... ...quad v_{Q} = v + \frac{\partial v}{\partial s}\hspace*{1pt}\mathrm{d}s %\cdot$$ (1.4)

Ristkülikulise elemendi deformeerumisel (jn 1.6) moodustub nihkenurk $\gamma$ nurkade $\alpha$ ja $\beta$ summana:

$$\gamma = \frac{\partial u}{\partial s} + \frac{\partial v}{\partial x} = 0 %\cdot$$ (1.5)

Tingimuse (1.5) rakendamine õhukeseseinalise varda keskpinnal moodustab esimese hüpoteesi sisu.

Joonis 1.6. Ristküliku deformatsioon

Nihkenurga puudumisel ( $\gamma = 0$) võib elemendi siirdumist ja pöördumist vaadelda kui jäiga keha pööret. Ristkülikulise elemendi PRQD (jn 1.5 ja 1.7) kontuur ei deformeeru.

Joonis 1.7. Ristküliku pööre

Kahe ristlõike pööret teineteise suhtes ümber varda telje x mõõdame väändenurgaga $\theta$. Vlassovi teooria [Vla59] teise hüpoteesi põhjal on väändenurk θ ainult varda teljesuunalise koordinaadi x funktsioon.

Ristlõike pöördumisel ümber telje, mis on paralleelne varda teljega (joonisel 1.8 on näidatud ristlõike keskjoone pööre ümber pooluseks nimetatava punkti P), võime keskjoone puutujasuunalise elementaarsiirde $\mathrm{d}v$ kirjutada kujul

$$\mathrm{d}v = \overline{NN^{\ast}}\cos\varphi \approx \rho\cos\va... ...t}\mathrm{d}\theta\left(x\right) = r\hspace*{1pt}\mathrm{d}\theta\left(x\right)$$ (1.6)

$$\mathrm{d}v = r\hspace*{1pt}\frac{\partial \theta}{\partial x}\hspace*{1pt}\mathrm{d}x$$ (1.7)

kus

• $\rho$ – raadiusvektor poolusest $P$ vaadeldavasse punkti $N$ (jn 1.8 ja jaotis A.1);
• $r$ – pooluse $P$ kaugus keskjoone puutujast $t\hspace*{-2pt}-\hspace*{-2pt}t$, mis läbib vaadeldavat punkti $N$;
• $\mathrm{d}\theta$ – elementaarväändenurk.

Joonis 1.8. Keskjoone pööre

Nihkenurga $\gamma = 0$ puudumise tingimusest (1.5) saame

$$\frac{\partial u}{\partial s} = -\hspace*{1pt} \frac{\partial v}{\partial x} = -\hspace*{1pt}r\hspace*{1pt}\frac{\partial \theta}{\partial x}$$ (1.8)

$${\partial u} = -\hspace*{1pt}r\hspace*{1pt}\frac{\partial \theta}{\partial x} {\partial s}$$ (1.9)

Varda teljega paralleelse kiu pikkedeformatsioonil s-koordinaat ei muutu. Seega saame osatuletise avaldises (1.9) asendada täistuletisega:

$${\mathrm{d}u} = -\hspace*{1pt}r\hspace*{1pt}\frac{\mathrm{d}\thet... ...m{d}x}{\mathrm{d}s} = -\hspace*{1pt}r\hspace*{1pt}\theta^{\prime} {\mathrm{d}s}$$ (1.10)

Nüüd saab suuruse $r\hspace*{1pt}{\mathrm{d} s}$ asendada sektorkoordinaadi diferentsiaaliga $\mathrm{d}\omega$ (A.33):

$${\mathrm{d} u} = -\hspace*{1pt}\theta^{\prime}\hspace*{1pt}r\hspa... ...t}{\mathrm{d} s} = -\hspace*{1pt}\theta^{\prime}\hspace*{1pt}{\mathrm{d}\omega}$$ (1.11)

Ristlõikes, kus $x=konst$, saab siirde $u\left(s\right)$ leida avaldisega

$${u} = -\hspace*{1pt}\theta^{\prime}\int_{s}\hspace*{1pt}r\hspace*{1pt}{\mathrm{d} s} = -\hspace*{1pt}\omega\hspace*{1pt}\theta^{\prime}$$ (1.12)

Ristlõike kõverdumisest (kooldumisest) tekkiv kooldepikkedeformatsioon on leitav avaldisega

$$\epsilon_{x\hspace*{1pt}\omega} = \frac{\partial u}{\partial x} = -\hspace*{1pt}\omega\hspace*{1pt}\theta^{\prime\prime}$$ (1.13)

Vlassovi teooria teise hüpoteesi põhjal on raadiusvektori $\overrightarrow{PN^{\ast}}$ projektsiooni pikkus (jn 1.8) ristlõiketasandil pärast ristlõike kooldumist võrdne raadiusvektori $\overrightarrow{PN}$ esialgse pikkusega. Õhukeseseinalise varda ristlõike kontuur ei deformeeru (jn 1.9a), seega jääb kaugus kahe ristlõikes asuva punkti vahel deformeerimise käigus muutumatuks (jn 1.9b).

Joonis 1.9. Ristlõike kooldumine takistatud väändel

	(a) Ristlõike pööre	(b) Ristlõike projektsioon