A.4.2 Sektorkoordinaadi pooluse muutmine

Vaatame, kuidas muutub sektorkoordinaat $\omega$ tema pooluse $P_{o}$ üleviimisel punkti P (jn A.12 a). Võtame kasutusele parema käe teljestiku, mille puhul on raadiusvektori pööre vastupäeva positiivne.

Sektorkoordinaadi diferentsiaalid $\mathrm{d}\hspace*{1pt}\omega_{P_{o}}$ (poolus $P_{o}$) ja $\mathrm{d}\hspace*{1pt}\omega_{P}$ (poolus $P$):

$$\mathrm{d}\hspace*{1pt}\omega_{P_{o}} = r_{o}\hspace*{1pt}\mathrm{d}s$$ (A.32)

$$\mathrm{d}\hspace*{1pt}\omega_{P} = r\hspace*{1pt}\mathrm{d}s$$ (A.33)

Jooniselt A.12 a näeme, et

$$r = r_{o} + z_{P}\hspace*{1pt}\sin\alpha + y_{P}\hspace*{1pt}\cos\alpha$$ (A.34)

kus $\alpha$ tähistab nurka keskjoone puutuja $t\hspace*{-2pt}-\hspace*{-2pt}t$ (punktis M) ja z-telje vahel. Jooniselt A.12 b saame seosed

$$d{y} = d{s}\hspace*{1pt}\sin\alpha , \qquad d{z} = - \hspace*{2pt}d{s}\hspace*{1pt}\cos\alpha$$ (A.35)

Joonis A.12. Sektorkoordinaadi pooluse muutmine

Siit leiame

$$\sin\alpha = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}s} , \qquad \cos\alpha = - \hspace*{2pt}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}s}$$ (A.36)

Saadud seosed asetame avaldisse (A.34):

$$r = r_{o} + z_{P}\hspace*{1pt}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}s} - y_{P}\hspace*{1pt}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}s}$$ (A.37)

Sektorkoordinaadi diferentsiaali $\mathrm{d}\hspace*{1pt}\omega_{P}$ (A.33) kirjutame kujul

$$\mathrm{d}\hspace*{1pt}\omega = r\hspace*{1pt}\mathrm{d}s = r_{o}\mathrm{d}s + z_{P}\hspace*{1pt}{\mathrm{d}y} - y_{P}\hspace*{1pt}{\mathrm{d}z}$$ (A.38)

ehk

$$\mathrm{d}\hspace*{1pt}\omega = \mathrm{d}\hspace*{1pt}\omega_{o} + z_{P}\hspace*{1pt}{\mathrm{d}y} - y_{P}\hspace*{1pt}{\mathrm{d}z}$$ (A.39)

Avaldist (A.39) integreerides saame

$$\omega = \omega_{o} + z_{P}\hspace*{1pt}{y} - y_{P}\hspace*{1pt}{z} +C$$ (A.40)

kus C on integreerimiskonstant.