2.3.1.4 Lausmoment talal

Näide 2.4 (lausmoment talal).  Koostada joonisel 2.12 kujutatud tala väändenurga θ , vabaväändemomendi T_t, bimomendi B_ω ja kooldeväändemomendi T_ω epüürid.

Joonis 2.12. Lausmoment talal

Andmed. Varda pikkus $l = 4.0\hspace*{1pt}\mathrm{m}$. Tala on ekstsentriliselt koormatud lauskoormusega $q = 30\hspace*{1pt}\mathrm{kN/ m}$ ( $m_{x} = -150\hspace*{1pt}\mathrm{(}\mathrm{kN}\hspace*{-2pt}\cdot\hspace*{-2pt}\mathrm{m}\mathrm{)}/\mathrm{m}$). Vertikaalse lauskoormuse $q$ ekstsentrilisus $e = 5\hspace*{1pt}\mathrm{cm}$. Ristlõike kooldejäikus $\mathrm{(}$EI_ω = $2.9686\hspace*{-2pt}\times\hspace*{-3pt}10^{4}\hspace*{1pt}\mathrm{kN}\hspace*{-2pt}\cdot\hspace*{-2pt}\mathrm{m^{4}}\mathrm{)}$, vabaväändejäikus $\mathrm{(}$GI_t = $1.1875\hspace*{-2pt}\times\hspace*{-3pt}10^{3}\hspace*{1pt}\mathrm{kN}\hspace*{-2pt}\cdot\hspace*{-2pt}\mathrm{m^{2}}\mathrm{)}$ ja kooldekarakteristik $\mathrm{(}$κ = $\sqrt{GI_{t}/E\hspace*{1pt}I_{\omega}} = \sqrt{1.1875\hspace*{-2pt}\times\hspa... ...2pt}\times\hspace*{-3pt}10^{15}} = 0.002\hspace*{1pt}\mathrm{cm^{-1}}\mathrm{)}$ on konstantsed.

Lahendus. Vaatleme tala ühe elemendina, siis sisesidemed [Jür85, lk 8-9] puuduvad. Rajatingimuste $W_{r}$ seadmisel on arvestatud energiateoreemi (B.8).

$$W_{r} = \left[ T_{sum}{\theta} - B_{\omega}{\theta^{\prime}} - b_{\omega}{\theta} \right]\bigm\vert _{0}^{l}$$ (2.110)

Siit saab jälgida, milline rajatingimus on antud ja milline leitakse. Esimese toe toetingimuste paarides $T_{sum}\Leftrightarrow {\theta}$ ja $B_{\omega}\Leftrightarrow {\theta^{\prime}}$ on antud väändenurk θ = 0 ja bimoment B_ω $= 0$. Tundmatud on koguväändemoment T_sum ja suhteline väändenurk θ^' ( $T_{t} = GI_{t}\theta^{\prime}$).

Tala lõpus on antud väändenurk θ = 0 ja bimoment B_ω $= 0$. Tundmatuks jäävad koguväändemoment T_sum ja suhteline väändenurk θ^' ( $T_{t} = GI_{t}\theta^{\prime}$).

Rajaväärtuste arvutamiseks kasutame nagu EST-meetodi [Lah97a], [Lah14] puhulgi hõredat võrrandisüsteemi ^2.17

$$\mathbf{spA}\bm{\cdot}\mathbf{Z} = \mathbf{B}$$ (2.111)

kus $\mathbf{Z}$ on võrrandisüsteemi tundmatute vektor

$$\mathbf{Z} = \mathbf{\widehat{Z}} = \left[\begin{array}{c} \mathbf{Z_{a}} \\ \mathbf{Z_{b}} \end{array}\right]$$ (2.112)

mille elementideks on väändenurgad ja -momendid varda alguses ja lõpus (jn 2.13):

$$\mathbf{Z_{a}} = \left[\begin{array}{c} {\theta}_{A} \\ {T_{t}}_... ...,1\right) \\ Z\left(7,1\right) \\ Z\left(8,1\right) \end{array}\right] \qquad$$ (2.113)

Muutuja $Z\left(i,1\right)$ indeks (i=1, 2, 3, $\ldots$, 8) on toodud joonisel 2.13.

Joonis 2.13. Lausmoment talal. Muutujad

Põhivõrrandites (2.84) [Lah12, jn 14.9] ^2.18

$$\mathbf{\widehat{UI}}_{4\times 8}\bm{\cdot}\mathbf{\widehat{Z}} = \mathbf{-\stackrel{\rm\circ}{Z}}$$ (2.114)

sisalduva laiendatud ülekandemaatriksi $\mathbf{\widehat{UI}}_{4\times 8} \equiv \boldsymbol{\left( U_{4\times 4}\mid -I_{4\times 4}\right)}$ (2.87) arvutamiseks saab kasutada GNU Octave'i funktsiooni yspWGvfmhvI.m.

Võrrandisüsteemis (2.114) on tundmatuid poole rohkem kui võrrandeid. Kanname need võrrandid võrrandisüsteemi (2.111) (vt väljavõte programmist 2.10).

Väljavõte programmist 2.10 ( Naide2_4.m )  

            
            # Tala hõreda laiendatud ülekandemaatriksi arvutus 
spvF=yspWGvfmhvI(baasi0,l,GIt,EIw); 
vB=yzWGmx(baasi0,l,l,a,mx,GIt,EIw); # koormusvektori arvutus
IIv=1;
IJv=1;
vB=vB.*(-1);
            # sisestab ülekandemaatriksi võrrandisüsteemi spA*Z=Bvb
spA=spInsertBtoA(spA,IIv,IJv,spvF);     
%            # sisestab koormusvektori võrrandisüsteemi vabaliikmesse Bv
Bvb=InsertBtoA(Bvb,NNK,1,IIv,1,vB,4,1);  
            # võrrandisüsteemi vabaliige Bvb on eelnevalt nullitud

Võrrandisüsteemis (2.111) peab olema võrrandeid ja tundmatuid ühepalju. Võrrandite arv peab ühtima maatriksi $\mathbf{spA}$ astakuga. Puuduvad sõltumatud võrrandid saame kinemaatilistest ja staatilistest rajatingimustest (vt jaotis 3.1).

Järgnevalt

-

püstitame rajatingimused;

-

arvutame algparameetrid;

-

arvutame väändenurgad ja väändemomendid;

-

koostame sisejõudude epüürid.

Rajatingimuste püstitus. Väliste rajatingimuste seadmisel tuleb arvestada energia teoreemi ^2.19 (B.8). Kui avaldistes ${\theta}\Leftrightarrow T_{sum}$, ${\theta^{\prime}}\Leftrightarrow {B_{\omega}}$ üks pool (pöördenurk $\theta$, suhteline väändenurk ${\theta^{\prime}}$) on antud, siis teine pool (koguväändemoment $T_{sum}$, bimoment $B_{\omega}$) on tundmatu.

Tala toed sõlmedes a ja b ei võimalda pööret (θ = 0 ) , kuid kooldumine on vaba: B_ω = 0 (vt tabel 1.2). Tundmatud on suhteline väändenurk θ^' ja koguväändemoment T_sum.

$$\begin{array}{lclccl} Z\left(1,1\right) & = & {\theta_{A}} & ... ...& {B_{\omega\, L}} & = & 0 & \end{array}<tex2html_comment_mark>$$ (2.115)

Koostatud on neli rajatingimuse võrrandit. Sisestame need võrrandisüsteemi (2.111) (vt väljavõte programmist 2.11).

Väljavõte programmist 2.11 ( Naide2_4.m )  

####### Rajatingimused 
#Tugi a
spA=spSisestaArv(spA,5,1,1);  # $theta_A$ - väändenurk
spA=spSisestaArv(spA,6,3,1);  # $B_{L}$ - bimoment 
#Tugi b
spA=spSisestaArv(spA,7,5,1);  # $theta_A$ - väändenurk
spA=spSisestaArv(spA,8,7,1);  # $B_{L}$ - bimoment 
#vastavad vabaliikmed Bvb on juba nullitud

spA_rank = sprank(spA) # võrrandisüsteemi astak

Sisestatud võrrandisüsteemi kordajad hõredas maatriksis spA on esitatud arvutuspäeviku väljavõttes 2.12.

Väljavõte arvutuspäevikust 2.12 ( Naide2_4.m )  

spA =
Compressed Column Sparse (rows = 8, cols = 8, nnz = 19 [30%])

  (1, 1) ->  1
  (5, 1) ->  1
  (1, 2) -> -336.84
  (2, 2) -> -1
  (1, 3) ->  0.28416
  (2, 3) ->  0.0017762
  (3, 3) -> -1.3374
  (4, 3) -> -0.0017762
  (6, 3) ->  1
  (1, 4) ->  37.098
  (2, 4) ->  0.33744
  (3, 4) -> -444.05
  (4, 4) -> -1.3374
  (1, 5) -> -1
  (7, 5) ->  1
  (2, 6) -> -1
  (3, 7) -> -1
  (8, 7) ->  1
  (4, 8) -> -1

Sisestatud võrrandisüsteemi vabaliikmete vektor B on esitatud arvutuspäeviku väljavõttes 2.13.

Väljavõte arvutuspäevikust 2.13 ( Naide2_4.m )  

B =

                                                                                                                                       
   5.5059e+05                                                                                                                                            
   6.6081e+03                                                                                                                                            
  -1.2654e+07                                                                                                                                            
  -6.6608e+04                                                                                                                                            
   0.0000e+00                                                                                                                                            
   0.0000e+00                                                                                                                                            
   0.0000e+00
   0.0000e+00

Algparameetrite arvutus. Rajaväärtuste leidmisel korrutasime väändenurgad skaleerimisteguriga: $baasi0 = 1.0\hspace*{-2pt}\times\hspace*{-2pt}10^{10}$. Skaleerimata algparameetrite saamiseks tuleb vastavad suurused jagada skaleerimisteguriga. Tala skaleerimata algparameetrid on toodud arvutuspäeviku väljavõttes 2.14.

Väljavõte arvutuspäevikust 2.14 ( Naide2_4.m )  

 Algparameetrid - AP1   
 theta -     0.0000e+00 
    Tt -     1.5039e+03 
     B -     0.0000e+00 
    Tw -     2.8496e+04

Väändenurkade ja väändemomentide arvutus. Väändenurkade ja väändemomentide leidmiseks tala ristlõigetes kasutame ülekandevõrrandit (C.1)

$$\mathbf{Z_{L}\left( x\right) } = \mathbf{U}\cdot\mathbf{Z_{A}} + \mathbf{\stackrel{\rm\circ}{Z}}$$ (2.116)

kus $\mathbf{Z_{A}}$ on tala algparameetrid (vt arvutuspäeviku väljavõte 2.14). Ülekandemaatriksi $\mathbf{U}$ leiame GNU Octave'i funktsiooniga ylWGfhlin.m ja koormusvektori $\mathrm{\mathbf{\stackrel{\rm\circ}{Z}}}$ funktsiooniga yzWGmx.m (vt väljavõte programmist 2.12).

Väljavõte programmist 2.12 ( Naide2_4.m )  

 

AP=AlgPar(:,1)
baasi0=1.0
Nmitmeks=4
xx=0;
xsamm=l/Nmitmeks;
for ij=1:Nmitmeks+1  # 5 - displacements and forces at x=0.0   
Xloikes(ij,1)=xx;
  vvF=ylWGfhlin(baasi0,l,xx,GIt,EIw);
  vvB=yzWGmx(baasi0,l,xx,a,mx,GIt,EIw);  # koormusvektori arvutus
 Fvv(1:4,ij)=vvF*AP+vvB;
 Fvv(5,ij)=Fvv(2,ij)+Fvv(4,ij);
xx=xx+xsamm;
endfor

Arvutustulemused on esitatud arvutuspäeviku väljavõttes 2.15.

Väljavõte arvutuspäevikust 2.15 ( Naide2_4.m )  

baasi0 =  1
Nmitmeks =  4
k =  0.0020000
      x=       0.00       100.00        200.00       300.00       400.00
 theta -    0.000e+00   -1.127e-05   -1.581e-05   -1.127e-05    0.000e+00
    Tt -   -1.504e+03   -1.032e+03   -1.319e-11    1.032e+03    1.504e+03
     B -    0.000e+00   -2.116e+06   -2.812e+06   -2.116e+06    0.000e+00
    Tw -   -2.850e+04   -1.397e+04    1.091e-11    1.397e+04    2.850e+04
  Tsum -   -3.000e+04   -1.500e+04   -2.274e-12    1.500e+04    3.000e+04

Leitud tulemuste põhjal koostame epüürid lausmomendist talal (jn 2.14).

Joonis 2.14. Lausmoment talal. Epüürid

        

 

(a) Koormus m_x = –150 N (vt tabel 1.1)

     

 

(b) Väändenurk θ

     

(c) Vabaväändemoment T_t

     

 

(d) Bimoment B_ω

     

(e) Kooldeväändemoment T_ω

     

(f) Koguväändemoment T_sum

     

EST-meetodiga saadud tulemused on kooskõlas raamatus [Bõt62] jõu- ja deformatsioonimeetodi abil leitutega (vt tabel 2.5).

Tabel 2.5. Lausmoment talal. Tulemuste võrdlus

x [cm]	Z(x)	[Sad63]	Mõõtühik	EST-meetod	Mõõtühik
0.0	θ		rad	0.000	rad
	Tt	–1.50×102	kG·cm	–1.504×103	N·cm
	Bω	0.00	kG·cm2	0.000×100	N·cm2
	Tω	–2.85×103	kG·cm	–2.850×104	N·cm
	Tsum	–3.00×103	kG·cm	–3.000×104	N·cm
100	θ		rad	–1.127×10–5	rad
	Tt	–1.00×102	kG·cm	–1.032×103	N·cm
	Bω	–2.11×106	kG·cm2	–2.116×106	N·cm2
	Tω	–1.40×103	kG·cm	–1.397×104	N·cm
	Tsum	–1.50×103	kG·cm	–1.500×104	N·cm
200	θ		rad	–1.581×10–5	rad
	Tt	0.00	kG·cm	–1.216×10–11	N·cm
	Bω	2.87×105	kG·cm2	–2.812×106	N·cm2
	Tω	0.00	kG·cm	3.638×10–12	N·cm
	Tsum	0.00	kG·cm	–8.527×10–12	N·cm
300	θ		rad	–1.127×10–5	rad
	Tt	1.00×102	kG·cm	1.032×103	N·cm
	Bω	–2.11×105	kG·cm2	–2.116×106	N·cm2
	Tω	1.40×103	kG·cm	1.397×104	N·cm
	Tsum	1.50×103	kG·cm	1.500×104	N·cm
400	θ		rad	2.711×10–20	rad
	Tt	1.50×102	kG·cm	1.504×103	N·cm
	Bω	0.00	kG·cm2	0.000×100	N·cm2
	Tω	2.85×103	kG·cm	2.850×104	N·cm
	Tsum	3.00×103	kG·cm	3.000×104	N·cm