2.3.1.5 Koondmoment talal

Näide 2.5 (koondmoment talal). Koostada joonisel 2.15 kujutatud tala väändenurga θ , vabaväändemomendi T_t, bimomendi B_ω ja kooldeväändemomendi T_ω epüürid.

**Joonis 2.15.** Koondmoment talal
$\includegraphics[width=110mm]{joonised/NaideYlekand5.eps}$

Andmed. Varda pikkus $l = 4.0\hspace*{1pt}\mathrm{m}$ . Tala on ekstsentriliselt koormatud koondatud jõuga $F = 2 \hspace*{1pt}\mathrm{kN}$ ( $M_{x} = 10.0\hspace*{1pt}\mathrm{kN\hspace*{-2pt}\cdot\hspace*{-2pt}cm}$ ). Vertikaalse jõu $ F$ ekstsentrilisus $e = 5\hspace*{1pt}\mathrm{cm}$ . Ristlõike kooldejäikus $\mathrm{(}$ EI_ω = $7.560\hspace*{-2pt}\times\hspace*{-3pt}10^{4}\hspace*{1pt}\mathrm{kN}\hspace*{-2pt}\cdot\hspace*{-2pt}\mathrm{m^{4}}\mathrm{)}$ , vabaväändejäikus $\mathrm{(}$ GI_t = $2.7216\hspace*{-2pt}\times\hspace*{-3pt}10^{4}\hspace*{1pt}\mathrm{kN}\hspace*{-2pt}\cdot\hspace*{-2pt}\mathrm{m^{2}}\mathrm{)}$ ja kooldekarakteristik $\mathrm{(}$ κ = $\sqrt{GI_{t}/E\hspace*{1pt}I_{\omega}} =$ $\sqrt{2.7216\hspace*{-2pt}\times\hspace*{-3pt}10^{8}/7.5600\hspace*{-2pt}\times\hspace*{-3pt}10^{12}} = 0.006\hspace*{1pt}\mathrm{cm^{-1}}\mathrm{)}$ on konstantsed.

Lahendus. Vaatleme tala ühe elemendina, siis sisesidemed [Jür85, lk 8-9] puuduvad. Rajatingimuste $W_{r}$ seadmisel on arvestatud energiateoreemi (B.8).

$\displaystyle W_{r} = \left[ T_{sum}{\theta} - B_{\omega}{\theta^{\prime}} - b_{\omega}{\theta} \right]\bigm\vert _{0}^{l}$

(2.117)

Siit saab jälgida, milline rajatingimus on antud ja milline leitakse. Esimese toe toetingimuste paarides $T_{sum}\Leftrightarrow {\theta}$ ja $B_{\omega}\Leftrightarrow {\theta^{\prime}}$ on antud väändenurk θ = 0 ja bimoment B_ω $ = 0$ . Tundmatud on koguväändemoment T_sum ja suhteline väändenurk θ^' ( $T_{t} = GI_{t}\theta^{\prime}$ ).

Varda lõpus on antud väändenurk θ = 0 ja bimoment B_ω $ = 0$ . Tundmatuks jäävad koguväändemoment T_sum ja suhteline väändenurk θ^' ( $T_{t} = GI_{t}\theta^{\prime}$ ).

Rajaväärtuste arvutamiseks kasutame nagu EST-meetodi [Lah97a], [Lah14] puhulgi hõredat võrrandisüsteemi ^2.20

$\displaystyle \mathbf{spA}\bm{\cdot}\mathbf{Z} = \mathbf{B}$

(2.118)

kus $\mathbf{Z}$ on võrrandisüsteemi tundmatute vektor

$\displaystyle \mathbf{Z} = \mathbf{\widehat{Z}} = \left[\begin{array}{c} \mathbf{Z_{a}} \\ \mathbf{Z_{b}} \end{array}\right]$

(2.119)

mille elementideks on väändenurgad ja -momendid varda alguses ja lõpus (jn 2.16):

$\displaystyle \mathbf{Z_{a}} = \left[\begin{array}{c} {\theta}_{A} \\ {T_{t}}_... ...,1\right) \\ Z\left(7,1\right) \\ Z\left(8,1\right) \end{array}\right] \qquad$

(2.120)

Muutuja $Z\left(i,1\right)$ indeks (i=1, 2, 3, $\ldots$ , 8) on toodud joonisel 2.16.

**Joonis 2.16.** Koondmoment talal. Muutujad
$\includegraphics[width=100mm]{joonised/Naide25aMuutujad.eps}$

Põhivõrrandites (2.84) [Lah12, jn 14.9] ^2.21

$\displaystyle \mathbf{\widehat{UI}}_{4\times 8}\bm{\cdot}\mathbf{\widehat{Z}} = \mathbf{-\stackrel{\rm\circ}{Z}}$

(2.121)

sisalduva laiendatud ülekandemaatriksi $\mathbf{\widehat{UI}}_{4\times 8} \equiv \boldsymbol{\left( U_{4\times 4}\mid -I_{4\times 4}\right)}$ (2.87) arvutamiseks saab kasutada GNU Octave'i funktsiooni yspWGvfmhvI.m.

Võrrandisüsteemis (2.121) on tundmatuid poole rohkem kui võrrandeid. Kanname need võrrandid võrrandisüsteemi (2.118) (vt väljavõte programmist 2.13).

Väljavõte programmist 2.13 ( Naide2_5.m )

            
            # Tala hõreda laiendatud ülekandemaatriksi arvutus 
spvF=yspWGvfmhvI(baasi0,l,GIt,EIw); 
vB=yzWGMx(baasi0,l,l,a,Mx,GIt,EIw); # koormusvektori arvutus
IIv=1;
IJv=1;
vB=vB.*(-1);
            # sisestab ülekandemaatriksi võrrandisüsteemi spA*Z=Bvb
spA=spInsertBtoA(spA,IIv,IJv,spvF);     
%            # sisestab koormusvektori võrrandisüsteemi vabaliikmesse Bv
Bvb=InsertBtoA(Bvb,NNK,1,IIv,1,vB,4,1);  
            # võrrandisüsteemi vabaliige Bvb on eelnevalt nullitud

Võrrandisüsteemis (2.118) peab olema võrrandeid ja tundmatuid ühepalju. Võrrandite arv peab ühtima maatriksi $\mathbf{spA}$ astakuga. Puuduvad sõltumatud võrrandid saame kinemaatilistest ja staatilistest rajatingimustest (vt jaotis 3.1).

Nüüd

-: püstitame rajatingimused;
-: arvutame algparameetrid;
-: arvutame väändenurgad ja väändemomendid;
-: koostame sisejõudude epüürid.

Rajatingimuste püstitus. Väliste rajatingimuste seadmisel tuleb arvestada energiateoreemi ^2.22 (B.8). Kui avaldistes ${\theta}\Leftrightarrow T_{sum}$ , ${\theta^{\prime}}\Leftrightarrow {B_{\omega}}$ üks pool (pöördenurk $\theta$ , suhteline väändenurk ${\theta^{\prime}}$ ) on antud, siis teine pool (koguväändemoment $T_{sum}$ , bimoment $B_{\omega}$ ) on tundmatu.

Tala toed sõlmedes a ja b ei võimalda pööret $\mathrm{(}$ θ = 0 $\mathrm{)}$ , kuid kooldumine on vaba: B_ω = 0 (vt tabel 1.2). Tundmatud on suhteline väändenurk θ^' ja koguväändemoment T_sum.

$\begin{displaymath}\begin{array}{lclccl} Z\left(1,1\right) & = & {\theta_{A}} & ... ...& {B_{\omega\, L}} & = & 0 & \end{array}<tex2html_comment_mark>\end{displaymath}$

(2.122)

Koostatud on neli rajatingimuse võrrandit. Sisestame need võrrandisüsteemi (2.118) (vt väljavõte programmist 2.14). Võrrandisüsteemi astak võrdub tundmatute arvuga. Järelikult on sisestatud võrrandid lineaarselt sõltumatud.

Väljavõte programmist 2.14 ( Naide2_5.m )

####### Rajatingimused 
spA=spSisestaArv(spA,5,1,1);  # $theta_A$ - väändenurk
spA=spSisestaArv(spA,6,3,1);  # $B_{L}$ - bimoment 
spA=spSisestaArv(spA,7,5,1);  # $theta_A$ - väändenurk
spA=spSisestaArv(spA,8,7,1);  # $B_{L}$ - bimoment 
#vastavad vabaliikmed Bvb on juba nullitud
spA_rank = sprank(spA) # võrrandisüsteemi astak

Sisestatud võrrandisüsteemi kordajad hõredas maatriksis spA on esitatud arvutuspäeviku väljavõttes 2.16.

Väljavõte arvutuspäevikust 2.16 ( Naide2_5.m )

spA =
Compressed Column Sparse (rows = 8, cols = 8, nnz = 19 [30%])

  (1, 1) ->  1
  (5, 1) ->  1
  (1, 2) -> -1.4697e+04
  (2, 2) -> -1
  (1, 3) ->  167.44
  (2, 3) ->  0.032797
  (3, 3) -> -5.5569
  (4, 3) -> -0.032797
  (6, 3) ->  1
  (1, 4) ->  1.8777e+04
  (2, 4) ->  4.5569
  (3, 4) -> -911.04
  (4, 4) -> -5.5569
  (1, 5) -> -1
  (7, 5) ->  1
  (2, 6) -> -1
  (3, 7) -> -1
  (8, 7) ->  1
  (4, 8) -> -1

Sisestatud võrrandisüsteemi vabaliikmete vektor B on esitatud arvutuspäeviku väljavõttes 2.17.

Väljavõte arvutuspäevikust 2.17 ( Naide2_5.m )

B =

                                                                                                                                       
  -1.8951e+07                                                                                                                                            
  -8.1066e+03                                                                                                                                            
   2.5158e+06                                                                                                                                            
   1.8107e+04                                                                                                                                            
   0.0000e+00                                                                                                                                            
   0.0000e+00                                                                                                                                            
   0.0000e+00                                                                                                                                            
   0.0000e+00

Algparameetrite arvutus. Rajaväärtuste leidmisel korrutasime väändenurgad skaleerimisteguriga: $baasi0 = 1.0\hspace*{-2pt}\times\hspace*{-2pt}10^{10}$ . Skaleerimata algparameetrite saamiseks tuleb vastavad suurused jagada skaleerimisteguriga. Tala skaleerimata algparameetrid on toodud arvutuspäeviku väljavõttes 2.18.

Väljavõte arvutuspäevikust 2.18 ( Naide2_5.m )

 Algparameetrid - AP1   
 theta -     0.0000e+00 
    Tt -    -2.2386e+03
     B -     0.0000e+00 
    Tw -    -2.7614e+03

Väändenurkade ja väändemomentide arvutus. Väändenurkade ja väändemomentide leidmiseks tala ristlõigetes kasutame ülekandevõrrandit (C.1)

$\displaystyle \mathbf{Z_{L}\left( x\right) } = \mathbf{U}\cdot\mathbf{Z_{A}} + \mathbf{\stackrel{\rm\circ}{Z}}$

(2.123)

kus $\mathbf{Z_{A}}$ on tala algparameetrid (vt arvutuspäeviku väljavõte 2.18). Ülekandemaatriksi $\mathbf{U}$ leiame GNU Octave'i funktsiooniga ylWGfhlin.m ja koormusvektori $\mathrm{\mathbf{\stackrel{\rm\circ}{Z}}}$ funktsiooniga yzWGmx.m (vt väljavõte programmist 2.15).

Väljavõte programmist 2.15 ( Naide2_5.m )

 

AP=AlgPar(:,1)
baasi0=1.0
Nmitmeks=4
xx=0;
xsamm=l/Nmitmeks;
for ij=1:Nmitmeks+1  # 5 - displacements and forces at x=0.0   
Xloikes(ij,1)=xx;
  vvF=ylWGfhlin(baasi0,l,xx,GIt,EIw);
  vvB=yzWGMx(baasi0,l,xx,a,Mx,GIt,EIw);  # koormusvektori arvutus
 Fvv(1:4,ij)=vvF*AP+vvB;
 Fvv(5,ij)=Fvv(2,ij)+Fvv(4,ij);
xx=xx+xsamm;
endfor

Arvutustulemused on esitatud arvutuspäeviku väljavõttes 2.19.

Väljavõte arvutuspäevikust 2.19 ( Naide2_5.m )

Nmitmeks =  4
k =  0.0060000
      x=       0.00       100.00        200.00       300.00       400.00
 theta -    0.000e+00    7.605e-04    1.122e-03    7.605e-04    2.168e-19
    Tt -    2.239e+03    1.726e+03    4.547e-13   -1.726e+03   -2.239e+03
     B -    0.000e+00    2.930e+05    6.947e+05    2.930e+05    0.000e+00
    Tw -    2.761e+03    3.274e+03   -5.000e+03   -3.274e+03   -2.761e+03
  Tsum -    5.000e+03    5.000e+03   -5.000e+03   -5.000e+03   -5.000e+03
   
     x =      199.9999999999
 theta -    1.122e-03 
    Tt -    2.501e-09 
     B -    6.947e+05 
    Tw -    5.000e+03 
  Tsum -    5.000e+03

Leitud tulemuste põhjal koostame epüürid koondmomendist talal (jn 2.17).

**Joonis 2.17.** Koondmoment talal. Epüürid

$\includegraphics[width=101mm]{joonised/Naide25aEpyyrid.eps}$

`(a) Koormus M_x = 10 kN·cm (vt tabel 1.1)`

$\includegraphics[width=96mm]{joonised/Naide25atheta.eps}$

`(b) Väändenurk θ`

$\includegraphics[width=96mm]{joonised/Naide25aTt.eps}$

`(c) Vabaväändemoment T_t`


$\includegraphics[width=96mm]{joonised/Naide25aBw.eps}$

`(d) Bimoment B_ω`

$\includegraphics[width=96mm]{joonised/Naide25aTw.eps}$

`(e) Kooldeväändemoment T_ω`

$\includegraphics[width=96mm]{joonised/Naide25aTsum.eps}$

`(f) Koguväändemoment T_sum`

EST-meetodiga saadud tulemused on kooskõlas raamatus [Bõt62] jõu- ja deformatsioonimeetodi abil leitutega (vt tabel 2.6).

**Tabel 2.6.** Koondmoment tala keskel. Tulemuste võrdlus
x [cm]	Z(x)	[Sad63]	Mõõtühik	EST-meetod	Mõõtühik
0.0	θ		rad	0.000×10⁰	rad
	T_t	2.24×10²	kG·cm	2.239×10³	N·cm
	B_ω	0.00	kG·cm²	0.000×10⁰	N·cm²
	T_ω	2.76×10²	kG·cm	2.761×10³	N·cm
	T_sum	5.00×10²	kG·cm	5.000×10³	N·cm
100	θ		rad	7.605×10^–4	rad
	T_t	1.73×10²	kG·cm	1.726×10³	N·cm
	B_ω	2.93×10⁴	kG·cm²	2.930×10⁵	N·cm²
	T_ω	3.27×10²	kG·cm	3.274×10³	N·cm
	T_sum	5.00×10²	kG·cm	5.000×10³	N·cm
200	θ		rad	1.122×10^–3	rad
	T_t	0.00	kG·cm	4.547×10^–13	N·cm
	B_ω	6.94×10⁴	kG·cm²	6.947×10⁵	N·cm²
200 – ε	T_ω	5.00×10²	kG·cm²	5.000×10³	N·cm²
200	T_ω	–5.00×10²	kG·cm	–5.000×10³	N·cm
200 – ε	T_sum	5.00×10²	kG·cm	5.000×10³	N·cm
200	T_sum	–5.00×10²	kG·cm	–5.000×10³	N·cm
300	θ		rad	7.605×10^–4	rad
	T_t	–1.73×10²	kG·cm	–1.726×10³	N·cm
	B_ω	2.93×10⁴	kG·cm²	2.930×10⁵	N·cm²
	T_ω	–3.27×10²	kG·cm	–3.274×10³	N·cm
	T_sum	–5.00×10²	kG·cm	–5.000×10³	N·cm
400	θ		rad	2.168×10^–19	rad
	T_t	–2.24×10²	kG·cm	2.239×10³	N·cm
	B_ω	0.00	kG·cm²	0.000×10⁰	N·cm²
	T_ω	–2.76×10²	kG·cm	–2.761×10³	N·cm
	T_sum	–5.00×10²	kG·cm	–5.000×10³	N·cm

andres
2016-04-13