2.3.1.3 Koondbimoment konsoolil

Näide 2.3 (koondbimoment konsoolil). Koostada joonisel 2.9 kujutatud konsooli väändenurga θ , vabaväändemomendi T_t, bimomendi B_ω ja kooldeväändemomendi T_ω epüürid.

**Joonis 2.9.** Koondbimoment konsoolil
$\includegraphics[width=96mm]{joonised/NaideYlekand3.eps}$

Andmed. Konsooli pikkus $l = 5.0\hspace*{1pt}\mathrm{m}$ . Konsooli otsa b on ekstsentriliselt rakendatud moment $M_{y} = 6.0\hspace*{1pt}\mathrm{kN\hspace*{-2pt}\cdot\hspace*{-2pt}cm}$ . Momentkoormuse $M_{y}$ ekstsentrilisus $e = 5.0\hspace*{1pt}\mathrm{cm}$ . Ristlõike kooldejäikus $\mathrm{(}$ EI_ω = $3.7311\hspace*{-2pt}\times\hspace*{-3pt}10^{3}\hspace*{1pt}\mathrm{kN}\hspace*{-2pt}\cdot\hspace*{-2pt}\mathrm{m^{4}}\mathrm{)}$ , vabaväändejäikus $\mathrm{(}$ GI_t = $2.3879\hspace*{-2pt}\times\hspace*{-3pt}10^{3}\hspace*{1pt}\mathrm{kN}\hspace*{-2pt}\cdot\hspace*{-2pt}\mathrm{m^{2}}\mathrm{)}$ ja kooldekarakteristik $\mathrm{(}$ κ = $\sqrt{GI_{t}/E\hspace*{1pt}I_{\omega}} = \sqrt{2.3879\hspace*{-2pt}\times\hspa... ...2pt}\times\hspace*{-3pt}10^{14}} = 0.008\hspace*{1pt}\mathrm{cm^{-1}}\mathrm{)}$ on konstantsed.

Lahendus. Vaatleme konsooli ühe elemendina, siis sisesidemed [Jür85, lk 8-9] puuduvad. Rajatingimuste $W_{r}$ seadmisel on arvestatud energiateoreemi (B.8).

$\displaystyle W_{r} = \left[ T_{sum}{\theta} - B_{\omega}{\theta^{\prime}} - b_{\omega}{\theta} \right]\bigm\vert _{0}^{l}$

(2.103)

Siit saab jälgida, milline rajatingimus on antud ja milline leitakse. Esimese toe toetingimuste paarides $T_{sum}\Leftrightarrow {\theta}$ ja $B_{\omega}\Leftrightarrow {\theta^{\prime}}$ on antud väändenurk θ = 0 ja suhteline väändenurk θ^' $ = 0$ . Seega on esimene tugi jäik ning ei võimalda pööret ega kooldumist. Tundmatud on bimoment B_ω ja koguväändemoment T_sum.

Konsooli lõpus on antud bimoment B_ω $= -3.0\times 10^{4}\hspace*{1pt}\mathrm{N}\hspace*{-2pt}\cdot\hspace*{-2pt}\mathrm{cm^{2}}$ ja koguväändemoment T_sum $= T_{t} + T_{\omega} = 0$ . Tundmatuks jäävad väändenurk θ ja suhteline väändenurk θ^' ( $T_{t} = GI_{t}\theta^{\prime}$ ).

Rajaväärtuste arvutamiseks kasutame nagu EST-meetodi [Lah97a], [Lah14] puhulgi hõredat võrrandisüsteemi ^2.14

$\displaystyle \mathbf{spA}\bm{\cdot}\mathbf{Z} = \mathbf{B}$

(2.104)

kus $\mathbf{Z}$ on võrrandisüsteemi tundmatute vektor

$\displaystyle \mathbf{Z} = \mathbf{\widehat{Z}} = \left[\begin{array}{c} \mathbf{Z_{a}} \\ \mathbf{Z_{b}} \end{array}\right]$

(2.105)

mille elementideks on väändenurgad ja -momendid varda alguses ja lõpus (jn 2.10):

$\displaystyle \mathbf{Z_{a}} = \left[\begin{array}{c} {\theta}_{A} \\ {T_{t}}_... ...,1\right) \\ Z\left(7,1\right) \\ Z\left(8,1\right) \end{array}\right] \qquad$

(2.106)

Muutuja $Z\left(i,1\right)$ indeks (i=1, 2, 3, $\ldots$ , 8) on toodud joonisel 2.10.

**Joonis 2.10.** Koondbimoment konsoolil. Muutujad
$\includegraphics[width=95mm]{joonised/Naide23aMuutujad.eps}$

Põhivõrrandites (2.84) [Lah12, jn 14.9] ^2.15

$\displaystyle \mathbf{\widehat{UI}}_{4\times 8}\bm{\cdot}\mathbf{\widehat{Z}} = \mathbf{-\stackrel{\rm\circ}{Z}}$

(2.107)

sisalduva laiendatud ülekandemaatriksi $\mathbf{\widehat{UI}}_{4\times 8} \equiv \boldsymbol{\left( U_{4\times 4}\mid -I_{4\times 4}\right)}$ (2.87) arvutamiseks saab kasutada GNU Octave'i funktsiooni yspWGvfmhvI.m.

Võrrandisüsteemis (2.107) on tundmatuid poole rohkem kui võrrandeid. Kanname need võrrandid võrrandisüsteemi (2.104) (vt väljavõte programmist 2.7).

Väljavõte programmist 2.7 ( Naide2_3.m )

            
            # Tala hõreda laiendatud ülekandemaatriksi arvutus 
spvF=yspWGvfmhvI(baasi0,l,GIt,EIw); 
%vB=yzWGmx(baasi0,l,l,a,mx,GIt,EIw); # koormusvektori arvutus
IIv=1;
IJv=1;
%vB=vB.*(-1);
            # sisestab ülekandemaatriksi võrrandisüsteemi spA*Z=Bvb
spA=spInsertBtoA(spA,IIv,IJv,spvF);     
%            # sisestab koormusvektori võrrandisüsteemi vabaliikmesse Bv
%Bvb=InsertBtoA(Bvb,NNK,1,IIv,1,vB,4,1);  
            # võrrandisüsteemi vabaliige Bvb on eelnevalt nullitud

Võrrandisüsteemis (2.104) peab olema võrrandeid ja tundmatuid ühepalju. Võrrandite arv peab ühtima maatriksi $\mathbf{spA}$ astakuga. Puuduvad sõltumatud võrrandid saame kinemaatilistest ja staatilistest rajatingimustest (vt jaotis ).

Järgnevalt

-: püstitame rajatingimused;
-: arvutame algparameetrid;
-: arvutame väändenurgad ja väändemomendid;
-: koostame sisejõudude epüürid.

Rajatingimuste püstitus. Väliste rajatingimuste seadmisel tuleb arvestada energiateoreemi ^2.16 (B.8). Kui avaldistes ${\theta}\Leftrightarrow T_{sum}$ , ${\theta^{\prime}}\Leftrightarrow {B_{\omega}}$ üks pool (pöördenurk $\theta$ , suhteline väändenurk ${\theta^{\prime}}$ ) on antud, siis teine pool (koguväändemoment $T_{sum}$ , bimoment $B_{\omega}$ ) on tundmatu.

Konsoolil on sõlmes a jäik tugi, mis ei võimalda pööret ega kooldumist (vt tabel 1.2). Tundmatud on bimoment B_ω ja koguväändemoment T_sum = T_t + T_ω . Viimases on vabaväändemoment T_t = GI_tθ^' = 0 antud. Tundmatuks jääb kooldeväändemoment T_ω .

Konsooli otsas, sõlmes b, on antud bimoment B_ω = 0 ning koguväändemoment T_sum = 0 . Tundmatud on pöördenurk $\theta$ ja suhteline väändenurk ${\theta^{\prime}}$ ( $GI_{t}\theta^{\prime} = T_{t}$ ).

$\begin{displaymath}\begin{array}{lclccl} Z\left(1,1\right) & = & {\theta_{A}} & ... ... \\ & & & & T_{sum L} & = 0 \end{array}<tex2html_comment_mark>\end{displaymath}$

(2.108)

Koostatud on neli rajatingimuse võrrandit. Sisestame need võrrandisüsteemi (2.104) (vt väljavõte programmist 2.8). Võrrandisüsteemi astak võrdub tundmatute arvuga. Järelikult on sisestatud võrrandid lineaarselt sõltumatud.

Väljavõte programmist 2.8 ( Naide2_3.m )

####### Rajatingimused 
spA=spSisestaArv(spA,5,1,1);  # $theta_A$ - väändenurk
spA=spSisestaArv(spA,6,2,1);  # $T_tA$ - kooldeväändemoment
spA=spSisestaArv(spA,7,7,1);  # $B_{L}$ - bimoment 
Bvb(7,1)=-30000.0 ;
spA=spSisestaArv(spA,8,6,1);  # $T_{tL}+ T_{\omega L}$ - 
spA=spSisestaArv(spA,8,8,1);  #         - üldväändemoment
#vastavad vabaliikmed Bvb on juba nullitud
spA_rank = sprank(spA) # võrrandisüsteemi astak

Sisestatud võrrandisüsteemi kordajad hõredas maatriksis spA on esitatud arvutuspäeviku väljavõttes 2.8.

Väljavõte arvutuspäevikust 2.8 ( Naide2_3.m )

spA =
Compressed Column Sparse (rows = 8, cols = 8, nnz = 20 [31%])

  (1, 1) ->  1
  (5, 1) ->  1
  (1, 2) -> -209.39
  (2, 2) -> -1
  (6, 2) ->  1
  (1, 3) ->  11.017
  (2, 3) ->  0.21832
  (3, 3) -> -27.308
  (4, 3) -> -0.21832
  (1, 4) ->  1219.2
  (2, 4) ->  26.308
  (3, 4) -> -3411.2
  (4, 4) -> -27.308
  (1, 5) -> -1
  (2, 6) -> -1
  (8, 6) ->  1
  (3, 7) -> -1
  (7, 7) ->  1
  (4, 8) -> -1
  (8, 8) ->  1

Sisestatud võrrandisüsteemi vabaliikmete vektor B on esitatud arvutuspäeviku väljavõttes 2.9.

Väljavõte arvutuspäevikust 2.9 ( Naide2_3.m )

B =

Algparameetrite arvutus. Rajaväärtuste leidmisel korrutasime väändenurgad skaleerimisteguriga: $baasi0 = 1.0\hspace*{-2pt}\times\hspace*{-2pt}10^{10}$ . Skaleerimata algparameetrite saamiseks tuleb vastavad suurused jagada skaleerimisteguriga. Konsooli skaleerimata algparameetrid on toodud arvutuspäeviku väljavõttes 2.10.

Väljavõte arvutuspäevikust 2.10 ( Naide2_3.m )

 Algparameetrid - AP1   
 theta -     0.0000e+00 
    Tt -     0.0000e+00 
     B -     1.0986e+03 
    Tw -    -2.3284e-14

Väändenurkade ja väändemomentide arvutus. Väändenurkade ja väändemomentide leidmiseks konsooli ristlõigetes kasutame ülekandevõrrandit ()

$\displaystyle \mathbf{Z_{L}\left( x\right) } = \mathbf{U}\cdot\mathbf{Z_{A}} + \mathbf{\stackrel{\rm\circ}{Z}}$

(2.109)

kus $\mathbf{Z_{A}}$ on konsooli algparameetrid (vt arvutuspäeviku väljavõte 2.10). Ülekandemaatriksi $\mathbf{U}$ leiame GNU Octave'i funktsiooniga ylWGfhlin.m (vt väljavõte programmist 2.9).

Väljavõte programmist 2.9 ( Naide2_3.m )

 

AP=AlgPar(:,1)
baasi0=1.0
Nmitmeks=4
xx=0;
xsamm=l/Nmitmeks;
for ij=1:Nmitmeks+1  # 5 - displacements and forces at x=0.0   
Xloikes(ij,1)=xx;
  vvF=ylWGfhlin(baasi0,l,xx,GIt,EIw);
%  vvB=yzWGmx(baasi0,l,xx,a,mx,GIt,EIw);  # koormusvektori arvutus
 Fvv(1:4,ij)=vvF*AP % +vvB;
 Fvv(5,ij)=Fvv(2,ij)+Fvv(4,ij);
xx=xx+xsamm;
endfor

Arvutustulemused on esitatud arvutuspäeviku väljavõttes 2.11.

Väljavõte arvutuspäevikust 2.11 ( Naide2_3.m )

baasi0 =  1
Nmitmeks =  4
k =  0.0080000
      x=       0.00       125.00        250.00       375.00       500.00
 theta -    0.000e+00    2.498e-08    1.271e-07    4.172e-07    1.210e-06
    Tt -    0.000e+00    1.033e+01    3.187e+01    8.804e+01    2.398e+02
     B -   -1.099e+03   -1.695e+03   -4.133e+03   -1.106e+04   -3.000e+04
    Tw -    2.328e-14   -1.033e+01   -3.187e+01   -8.804e+01   -2.398e+02
  Tsum -    2.328e-14    2.309e-14    2.487e-14    1.421e-14    0.000e+00

Leitud tulemuste põhjal koostame epüürid koondbimomendist konsoolil (jn 2.11).

**Joonis 2.11.** Koondbimoment konsoolil. Epüürid

$\includegraphics[width=105mm]{joonised/Naide23aEpyyrid.eps}$

`(a) Koormus m_x = –200 N`

$\includegraphics[width=96mm]{joonised/Naide23atheta.eps}$

`(b) Väändenurk θ`


$\includegraphics[width=96mm]{joonised/Naide23aTt.eps}$

`(c) Vabaväändemoment T_t`

$\includegraphics[width=96mm]{joonised/Naide23aBw.eps}$

`(d) Bimoment B_ω`

$\includegraphics[width=96mm]{joonised/Naide23aTw.eps}$

`(e) Kooldeväändemoment T_ω`

$\includegraphics[width=96mm]{joonised/Naide23aTsum.eps}$

`(f) Koguväändemoment T_sum`

EST-meetodiga saadud tulemused on kooskõlas raamatus [Bõt62] jõu- ja deformatsioonimeetodi abil leitutega (vt tabel 2.4).

**Tabel 2.4.** Koondbimoment konsoolil. Tulemuste võrdlus
x [cm]	Z(x)	[Sad63]	Mõõtühik	EST-meetod	Mõõtühik
0.0	θ		rad	0.000×10⁰	rad
	T_t	0.00	kG·cm	0.000×10⁰	N·cm
	B_ω	–1.099×10²	kG·cm²	–1.099×10³	N·cm²
	T_ω	0.00	kG·cm	2.328×10^–14	N·cm
	T_sum	0.00	kG·cm	2.328×10^–14	N·cm
125	θ		rad	2.498×10^–8	rad
	T_t		kG·cm	1.033×10¹	N·cm
	B_ω		kG·cm²	–1.695×10³	N·cm²
	T_ω		kG·cm	–1.033×10¹	N·cm
	T_sum		kG·cm	2.309×10^–14	N·cm
250	θ		rad	1.271×10^–7	rad
	T_t	3.19	kG·cm	3.187×10¹	N·cm
	B_ω	–4.13×10²	kG·cm²	–4.133×10³	N·cm²
	T_ω	–3.19	kG·cm	–3.187×10⁰	N·cm
	T_sum	0.00	kG·cm	2.487×10^–14	N·cm
375	θ		rad	4.172×10^–7	rad
	T_t		kG·cm	8.804×10⁰	N·cm
	B_ω		kG·cm²	–1.106×10⁴	N·cm²
	T_ω		kG·cm	–8.804×10⁰	N·cm
	T_sum		kG·cm	1.421×10^–14	N·cm
500	θ		rad	1.210×10^–6	rad
	T_t	2.40×10¹	kG·cm	2.398×10²	N·cm
	B_ω	–3.000×10³	kG·cm²	–3.000×10⁴	N·cm²
	T_ω	–2.40×10¹	kG·cm	–2.398×10²	N·cm
	T_sum	0.00	kG·cm	0.000×10⁰	N·cm