2.3.1.2 Koondmoment konsoolil

Näide 2.2 (koondmoment konsoolil).  Koostada joonisel 2.6 kujutatud konsooli väändenurga θ , vabaväändemomendi T_t, bimomendi B_ω ja kooldeväändemomendi T_ω epüürid.

Joonis 2.6. Koondmoment konsoolil

Andmed. Konsooli pikkus $l = 2.5\hspace*{1pt}\mathrm{m}$. Konsooli otsa b on ekstsentriliselt rakendatud jõud $F = 1.0\hspace*{1pt}\mathrm{kN}$. Vertikaalse koormuse $F$ ekstsentrilisus $e = 10.0\hspace*{1pt}\mathrm{cm}$. Ristlõike kooldejäikus $\mathrm{(}$EI_ω = $5.9130\hspace*{-2pt}\times\hspace*{-3pt}10^{4}\hspace*{1pt}\mathrm{kN}\hspace*{-2pt}\cdot\hspace*{-2pt}\mathrm{m^{4}}\mathrm{)}$, vabaväändejäikus $\mathrm{(}$GI_t = $9.4608\hspace*{-2pt}\times\hspace*{-3pt}10^{3}\hspace*{1pt}\mathrm{kN}\hspace*{-2pt}\cdot\hspace*{-2pt}\mathrm{m^{2}}\mathrm{)}$ ja kooldekarakteristik $\mathrm{(}$κ = $\sqrt{GI_{t}/E\hspace*{1pt}I_{\omega}} = \sqrt{9.4608\hspace*{-2pt}\times\hspa... ...2pt}\times\hspace*{-3pt}10^{15}} = 0.004\hspace*{1pt}\mathrm{cm^{-1}}\mathrm{)}$ on konstantsed.

Lahendus. Vaatleme konsooli ühe elemendina, siis sisesidemed [Jür85, lk 8-9] puuduvad. Rajatingimuste $W_{r}$ seadmisel on arvestatud energiateoreemi (B.8).

$$W_{r} = \left[ T_{sum}{\theta} - B_{\omega}{\theta^{\prime}} - b_{\omega}{\theta} \right]\bigm\vert _{0}^{l}$$ (2.96)

Siit saab jälgida, milline rajatingimus on antud ja milline leitakse. Esimesel toel on toetingimuste paarides $T_{sum}\Leftrightarrow {\theta}$ ja $B_{\omega}\Leftrightarrow {\theta^{\prime}}$ antud väändenurk θ = 0 ja suhteline väändenurk θ^' $= 0$. Seega on esimene tugi jäik ning ei võimalda pööret ega kooldumist. Tundmatud on bimoment B_ω ja koguväändemoment T_sum.

Konsooli lõpus on antud bimoment B_ω $= 0$ ja koguväändemoment T_sum $= T_{t} + T_{\omega} = e\hspace*{-2pt}\cdot\hspace*{-2pt}F_{z} = 0.1\hspace*{-... ...}10^{3} = 100\hspace*{1pt}\mathrm{N}\hspace*{-2pt}\cdot\hspace*{-2pt}\mathrm{m}$. Tundmatuks jäävad väändenurk θ ja suhteline väändenurk θ^' ( $T_{t} = GI_{t}\theta^{\prime}$).

Rajaväärtuste arvutamiseks kasutame nagu EST-meetodi [Lah97a], [Lah14] puhulgi hõredat võrrandisüsteemi ^2.11

$$\mathbf{spA}\bm{\cdot}\mathbf{Z} = \mathbf{B}$$ (2.97)

kus $\mathbf{Z}$ on võrrandisüsteemi tundmatute vektor

$$\mathbf{Z} = \mathbf{\widehat{Z}} = \left[\begin{array}{c} \mathbf{Z_{a}} \\ \mathbf{Z_{b}} \end{array}\right]$$ (2.98)

mille elementideks on väändenurgad ja -momendid varda alguses ja lõpus (jn 2.7):

$$\mathbf{Z_{a}} = \left[\begin{array}{c} {\theta}_{A} \\ {T_{t}}_... ...,1\right) \\ Z\left(7,1\right) \\ Z\left(8,1\right) \end{array}\right] \qquad$$ (2.99)

Muutuja $Z\left(i,1\right)$ indeks (i=1, 2, 3, $\ldots$, 8) on toodud joonisel 2.7.

Joonis 2.7. Koondmoment konsoolil. Muutujad

Põhivõrrandites (2.84) [Lah12, jn 14.9] ^2.12

$$\mathbf{\widehat{UI}}_{4\times 8}\bm{\cdot}\mathbf{\widehat{Z}} = \mathbf{-\stackrel{\rm\circ}{Z}}$$ (2.100)

sisalduva laiendatud ülekandemaatriksi $\mathbf{\widehat{UI}}_{4\times 8} \equiv \boldsymbol{\left( U_{4\times 4}\mid -I_{4\times 4}\right)}$ (2.87) arvutamiseks saab kasutada GNU Octave'i funktsiooni yspWGvfmhvI.m.

Võrrandisüsteemis (2.100) on tundmatuid poole rohkem kui võrrandeid. Kanname need võrrandid võrrandisüsteemi (2.97) (vt väljavõte programmist 2.4).

Väljavõte programmist 2.4 ( Naide2_2.m )  

            
            # Tala hõreda laiendatud ülekandemaatriksi arvutus 
spvF=yspWGvfmhvI(baasi0,l,GIt,EIw); 
%vB=yzWGmx(baasi0,l,l,a,mx,GIt,EIw); # koormusvektori arvutus
IIv=1;
IJv=1;
%vB=vB.*(-1);
            # sisestab ülekandemaatriksi võrrandisüsteemi spA*Z=Bvb
spA=spInsertBtoA(spA,IIv,IJv,spvF);    
%            # sisestab koormusvektori võrrandisüsteemi vabaliikmesse Bv
%Bvb=InsertBtoA(Bvb,NNK,1,IIv,1,vB,4,1);  
            # võrrandisüsteemi vabaliige Bvb on eelnevalt nullitud

Võrrandisüsteemis (2.97) peab olema võrrandeid ja tundmatuid ühepalju. Võrrandite arv peab ühtima maatriksi $\mathbf{spA}$ astakuga. Puuduvad sõltumatud võrrandid saame kinemaatilistest ja staatilistest rajatingimustest (vt jaotis 3.1).

Järgnevalt

-

püstitame rajatingimused;

-

arvutame algparameetrid;

-

arvutame väändenurgad ja väändemomendid;

-

koostame sisejõudude epüürid.

Rajatingimuste püstitus. Väliste rajatingimuste seadmisel tuleb arvestada energiateoreemi ^2.13 (B.8). Kui avaldistes ${\theta}\Leftrightarrow T_{sum}$, ${\theta^{\prime}}\Leftrightarrow {B_{\omega}}$ üks pool (pöördenurk $\theta$, suhteline väändenurk ${\theta^{\prime}}$) on antud, siis teine pool (koguväändemoment $T_{sum}$, bimoment $B_{\omega}$) on tundmatu.

Konsoolil on sõlmes a jäik tugi, mis ei võimalda pööret ega kooldumist (vt tabel 1.2). Tundmatud on bimoment B_ω ja koguväändemoment T_sum . Viimases on vabaväändemoment T_t = 0 antud. Tundmatuks jääb kooldeväändemoment T_ω .

Konsooli otsas, sõlmes b, on antud bimoment B_ω ja koguväändemoment T_sum . Tundmatuks jäävad pöördenurk $\theta$ ja suhteline väändenurk ${\theta^{\prime}}$ ( $GI_{t}\theta^{\prime} = T_{t}$).

$$\begin{array}{lclccl} Z\left(1,1\right) & = & {\theta_{A}} & ... ...dot\hspace*{-2pt}\mathrm{cm} \end{array}<tex2html_comment_mark>$$ (2.101)

Koostatud on neli rajatingimuse võrrandit. Sisestame need võrrandisüsteemi (2.97) (vt väljavõte programmist 2.5). Võrrandisüsteemi astak võrdub tundmatute arvuga. Järelikult on sisestatud võrrandid lineaarselt sõltumatud.

Väljavõte programmist 2.5 ( Naide2_2.m )  

####### Rajatingimused 
spA=spSisestaArv(spA,5,1,1);  # $theta_A$ - väändenurk
spA=spSisestaArv(spA,6,2,1);  # $T_tA$ - kooldeväändemoment
spA=spSisestaArv(spA,7,7,1);  # $B_{L}$ - bimoment 
spA=spSisestaArv(spA,8,6,1);  # $T_{tL}+ T_{\omega L}$  
spA=spSisestaArv(spA,8,8,1);  #         - üldväändemoment
Bvb(8,1)=10000.0 ;
#vastavad vabaliikmed Bvb on juba nullitud
spA_rank = sprank(spA) # võrrandisüsteemi astak

Sisestatud võrrandisüsteemi kordajad hõredas maatriksis spA on esitatud arvutuspäeviku väljavõttes 2.5.

Väljavõte arvutuspäevikust 2.5 ( Naide2_2.m )  

spA =
Compressed Column Sparse (rows = 8, cols = 8, nnz = 20 [31%])

  (1, 1) ->  1
  (5, 1) ->  1
  (1, 2) -> -26.425
  (2, 2) -> -1
  (6, 2) ->  1
  (1, 3) ->  0.057403
  (2, 3) ->  0.0047008
  (3, 3) -> -1.5431
  (4, 3) -> -0.0047008
  (1, 4) ->  4.6297
  (2, 4) ->  0.54308
  (3, 4) -> -293.80
  (4, 4) -> -1.5431
  (1, 5) -> -1
  (2, 6) -> -1
  (8, 6) ->  1
  (3, 7) -> -1
  (7, 7) ->  1
  (4, 8) -> -1
  (8, 8) ->  1

Algparameetrite arvutus. Rajaväärtuste leidmisel korrutasime väändenurgad skaleerimisteguriga: $baasi0 = 1.0\hspace*{-2pt}\times\hspace*{-2pt}10^{10}$. Skaleerimata algparameetrite saamiseks tuleb vastavad suurused jagada skaleerimisteguriga. Konsooli skaleerimata algparameetrid on toodud arvutuspäeviku väljavõttes 2.6.

Väljavõte arvutuspäevikust 2.6 ( Naide2_2.m )  

 Algparameetrid - AP1   
 theta -     0.0000e+00 
    Tt -     0.0000e+00 
     B -     1.9040e+06 
    Tw -    -1.0000e+04

Väändenurkade ja väändemomentide arvutus. Väändenurkade ja väändemomentide leidmiseks konsooli ristlõigetes kasutame ülekandevõrrandit ()

$$\mathbf{Z_{L}\left( x\right) } = \mathbf{U}\cdot\mathbf{Z_{A}} + \mathbf{\stackrel{\rm\circ}{Z}}$$ (2.102)

kus $\mathbf{Z_{A}}$ on konsooli algparameetrid (vt arvutuspäeviku väljavõte 2.6). Ülekandemaatriksi $\mathbf{U}$ leiame GNU Octave'i funktsiooniga ylWGfhlin.m (vt väljavõte programmist 2.6).

Väljavõte programmist 2.6 ( Naide2_2.m )  

 


AP=AlgPar(:,1)
baasi0=1.0
Nmitmeks=4
xx=0;
xsamm=l/Nmitmeks;
for ij=1:Nmitmeks+1  # 5 - displacements and forces at x=0.0   
Xloikes(ij,1)=xx;
  vvF=ylWGfhlin(baasi0,l,xx,GIt,EIw);
%  vvB=yzWGmx(baasi0,l,xx,a,mx,GIt,EIw);  # koormusvektori arvutus
 Fvv(1:4,ij)=vvF*AP % +vvB;
 Fvv(5,ij)=Fvv(2,ij)+Fvv(4,ij);
xx=xx+xsamm;
endfor

Arvutustulemused on esitatud arvutuspäeviku väljavõttes 2.7.

Väljavõte arvutuspäevikust 2.7 ( Naide2_2.m )  

baasi0 =  1
Nmitmeks =  4
k =  0.0050000
      x=       0.00        50.00        100.00       150.00       200.00
 theta -    0.000e+00   -3.169e-04   -1.029e-03   -1.881e-03   -2.748e-03
    Tt -    0.000e+00   -2.987e+03   -4.277e+03   -4.580e+03   -4.542e+03
     B -    3.277e+06    1.611e+06    5.477e+05    2.185e+04   -9.313e-10
    Tw -   -4.000e+04   -2.701e+04   -1.572e+04   -5.420e+03    4.542e+03
  Tsum -   -4.000e+04   -3.000e+04   -2.000e+04   -1.000e+04   -2.001e-11
   
     x =      177.1936900000
 theta -   -2.354e-03 
    Tt -   -4.561e+03 
     B -   -5.173e+04 
    Tw -    1.333e-03 
  Tsum -   -4.561e+03

Leitud tulemuste põhjal koostame epüürid koondmomendist konsoolil (jn 2.8).

Joonis 2.8. Koondmoment konsoolil. Epüürid

       

 

(a) Koormus M_x = 100 N·m (vt tabel 1.1)

     

(b) Väändenurk θ

     

(c) Vabaväändemoment T_t

     

 

(d) Bimoment B_ω

     

(e) Kooldeväändemoment T_ω

     

 

(f) Koguväändemoment T_sum

     

EST-meetodiga saadud tulemused on kooskõlas raamatus [Bõt62] jõu- ja deformatsioonimeetodi abil leitutega (vt tabel 2.3).

Tabel 2.3. Koondmoment konsoolil. Tulemuste võrdlus

x [cm]	Z(x)	[Sad63]	Mõõtühik	EST-meetod	Mõõtühik
0.0	θ		rad	0.000×100	rad
	Tt	0.00	kG·cm	0.000×100	N·cm
	Bω	–1.904×105	kG·cm2	–1.904×106	N·cm2
	Tω	1.000×103	kG·cm	1.000×104	N·cm
	Tsum	1.000×103	kG·cm	1.000×104	N·cm
62.5	θ		rad	5.632×10–7	rad
	Tt		kG·cm	1.610×103	N·cm
	Bω		kG·cm2	–1.332×106	N·cm2
	Tω		kG·cm	8.390×103	N·cm
	Tsum		kG·cm	1.000×104	N·cm
125	θ		rad	2.011×10–6	rad
	Tt	2.69×102	kG·cm	2.692×103	N·cm
	Bω	–8.440×104	kG·cm2	–8.442×105	N·cm2
	Tω	7.31×102	kG·cm	7.308×103	N·cm
	Tsum	1.000×103	kG·cm	1.000×104	N·cm
187.5	θ		rad	4.020×10–6	rad
	Tt		kG·cm	3.316×103	N·cm
	Bω		kG·cm2	–4.093×105	N·cm2
	Tω		kG·cm	6.684×103	N·cm
	Tsum		kG·cm	1.000×104	N·cm
250	θ		rad	6.300×10–6	rad
	Tt	3.52×102	kG·cm	3.519×103	N·cm
	Bω	0.00	kG·cm2	4.657×10–10	N·cm2
	Tω	6.48×102	kG·cm	6.481×103	N·cm
	Tsum	1.00×103	kG·cm	1.000×104	N·cm