2.3.1.1 Lausmoment konsoolil

Näide 2.1 (lausmoment konsoolil).  Koostada joonisel 2.1 kujutatud konsooli väändenurga θ , vabaväändemomendi T_t, bimomendi B_ω ja kooldeväändemomendi T_ω epüürid.

Joonis 2.1. Lausmoment konsoolil

Andmed. Konsoolile pikkusega $l = 2\hspace*{1pt}\mathrm{m}$ mõjub ekstsentriline lauskoormus $q = 20\hspace*{1pt}\mathrm{kN/ m}$ ( $m_{x} = -20\hspace*{1pt}\mathrm{(}\mathrm{kN}\hspace*{-2pt}\cdot\hspace*{-1pt}\mathrm{m}\mathrm{)}/\mathrm{m}$). Vertikaalse lauskoormuse $q$ ekstsentrilisus $e = 1.0\hspace*{1pt}\mathrm{cm}$. Ristlõike kooldejäikus $\mathrm{(}$EI_ω = $1.052\hspace*{-2pt}\times\hspace*{-3pt}10^{3}\hspace*{1pt}\mathrm{kN}\hspace*{-1pt}\cdot\hspace*{-1pt}\mathrm{m^{4}}\mathrm{)}$, vabaväändejäikus $\mathrm{(}$GI_t = $2.63\hspace*{-2pt}\times\hspace*{-3pt}10^{2}\hspace*{1pt} \mathrm{kN}\hspace*{-1pt}\cdot\hspace*{-1pt}\mathrm{m^{2}}\mathrm{)}$ ja kooldekarakteristik κ = $\sqrt{GI_{t}/E\hspace*{1pt}I_{\omega}} =$ $\sqrt{2.63\hspace*{-2pt}\times\hspace*{-3pt}10^{8}/1.052\hspace*{-2pt}\times\hspace*{-3pt}10^{13}} = 0.005\hspace*{1pt}\mathrm{cm^{-1}})$ on konstantsed.

Lahendus. Vaatleme konsooli ühe elemendina, siis sisesidemed [Jür85, lk 8-9] puuduvad. Rajatingimuste $W_{r}$ seadmisel on arvestatud energiateoreemi (B.8).

$$W_{r} = \left[ T_{sum}{\theta} - B_{\omega}{\theta^{\prime}} - b_{\omega}{\theta} \right]\bigm\vert _{0}^{l}$$ (2.89)

Siit saab jälgida, milline rajatingimus on antud ja milline leitakse. Esimesel toel on toetingimuste paarides $T_{sum}\Leftrightarrow {\theta}$ ja $B_{\omega}\Leftrightarrow {\theta^{\prime}}$ antud väändenurk θ = 0 ja suhteline väändenurk θ^' = 0. Seega on esimene tugi jäik ning ei võimalda pööret ega kooldumist. Tundmatud on bimoment B_ω ja koguväändemoment T_sum.

Konsooli lõpus on antud bimoment B_ω = 0 ja koguväändemoment T_sum = $T_{t} + T_{\omega} = 0$. Tundmatuks jäävad väändenurk θ ja suhteline väändenurk θ^' ( $T_{t} = GI_{t}\theta^{\prime}$).

Rajaväärtuste arvutamiseks kasutame nagu EST-meetodi [Lah97a], [Lah14], [Lah97b], [Lah98a] puhulgi hõredat võrrandisüsteemi ^2.7

$$\mathbf{spA}\bm{\cdot}\mathbf{Z} = \mathbf{B}$$ (2.90)

kus $\mathbf{Z}$ on võrrandisüsteemi tundmatute vektor

$$\mathbf{Z} = \mathbf{\widehat{Z}} = \left[\begin{array}{c} \mathbf{Z_{a}} \\ \mathbf{Z_{b}} \end{array}\right]$$ (2.91)

mille elementideks on väändenurgad ja väändemomendid varda alguses ning lõpus (jn 2.2):

$$\mathbf{Z_{a}} = \left[\begin{array}{c} {\theta}_{A} \\ {T_{t}}_... ...,1\right) \\ Z\left(7,1\right) \\ Z\left(8,1\right) \end{array}\right] \qquad$$ (2.92)

Muutuja $Z\left(i,1\right)$ indeks (i=1, 2, 3, $\ldots$, 8) on toodud joonisel 2.2.

Joonis 2.2. Lausmoment konsoolil. Muutujad

Põhivõrrandites (2.84) [Lah12, jn 14.9] ^2.8

$$\mathbf{\widehat{UI}}_{4\times 8}\bm{\cdot}\mathbf{\widehat{Z}} = \mathbf{-\stackrel{\rm\circ}{Z}}$$ (2.93)

sisalduva laiendatud ülekandemaatriksi $\mathbf{\widehat{UI}}_{4\times 8} \equiv \boldsymbol{\left( U_{4\times 4}\mid -I_{4\times 4}\right)}$ (2.87) arvutamiseks saab kasutada GNU Octave'i funktsiooni yspWGvfmhvI.m.

Võrrandisüsteemis (2.93) on tundmatuid poole rohkem kui võrrandeid. Kanname need võrrandid võrrandisüsteemi (2.90) (vt väljavõte programmist 2.1).

Väljavõte programmist 2.1 ( Naide2_1.m )  

            
            # Tala hõreda laiendatud ülekandemaatriksi arvutus 
spvF=yspWGvfmhvI(baasi0,l,GIt,EIw); 
vB=yzWGmx(baasi0,l,l,a,mx,GIt,EIw); # koormusvektori arvutus
IIv=1;
IJv=1;
vB=vB.*(-1);
            # sisestab ülekandemaatriksi võrrandisüsteemi spA*Z=Bvb
spA=spInsertBtoA(spA,IIv,IJv,spvF);  
            # sisestab koormusvektori võrrandisüsteemi vabaliikmesse Bv
Bvb=InsertBtoA(Bvb,NNK,1,IIv,1,vB,4,1);  
            # võrrandisüsteemi vabaliige Bvb on eelnevalt nullitud

Võrrandisüsteemis (2.90) peab olema võrrandeid ja tundmatuid ühepalju. Võrrandite arv peab ühtima maatriksi $\mathbf{spA}$ astakuga. Puuduvad sõltumatud võrrandid saame kinemaatilistest ja staatilistest rajatingimustest (vt jaotis 3.1).

Järgnevalt

-

püstitame rajatingimused;

-

arvutame algparameetrid;

-

arvutame väändenurgad ja väändemomendid;

-

koostame sisejõudude epüürid.

Rajatingimuste püstitus. Väliste rajatingimuste seadmisel tuleb arvestada energiateoreemi ^2.9 (B.8). Kui avaldistes ${\theta}\Leftrightarrow T_{sum}$, ${\theta^{\prime}}\Leftrightarrow {B_{\omega}}$ üks pool (pöördenurk $\theta$, suhteline väändenurk ${\theta^{\prime}}$) on antud, siis teine pool (koguväändemoment $T_{sum}$, bimoment $B_{\omega}$) on tundmatu.

Konsoolil on sõlmes a jäik tugi, mis ei võimalda pööret ega kooldumist (vt tabel 1.2). Tundmatud on bimoment B_ω ja koguväändemoment T_sum . Viimases on vabaväändemoment antud: T_t = 0 . Tundmatuks jääb kooldeväändemoment T_ω.

Konsooli otsas, sõlmes b, on bimoment B_ω ja koguväändemoment T_sum . Tundmatud on pöördenurk $\theta$ ja suhteline väändenurk ${\theta^{\prime}}$ ( $GI_{t}\theta^{\prime} = T_{t}$).

$$\begin{array}{lclccl} Z\left(1,1\right) & = & {\theta_{A}} & ... ... \\ & & & & T_{sum L} & = 0 \end{array}<tex2html_comment_mark>$$ (2.94)

Koostatud on neli rajatingimuse võrrandit. Sisestame need võrrandisüsteemi (2.90) (vt väljavõte programmist 2.2). Võrrandisüsteemi astak võrdub tundmatute arvuga. Järelikult on sisestatud võrrandid lineaarselt sõltumatud.

Väljavõte programmist 2.2 ( Naide2_1.m )  

####### Rajatingimused 
spA=spSisestaArv(spA,5,1,1);  # $theta_A$ - väändenurk
spA=spSisestaArv(spA,6,2,1);  # $T_tA$ - kooldeväändemoment
spA=spSisestaArv(spA,7,7,1);  # $B_{L}$ - bimoment 
spA=spSisestaArv(spA,8,6,1);  # $T_{tL}+ T_{\omega L}$ - 
spA=spSisestaArv(spA,8,8,1);  #         - üldväändemoment
#vastavad vabaliikmed Bvb on juba nullitud
spA_rank = sprank(spA) # võrrandisüsteemi astak

Joonisel 2.3 on sisestatud võrrandisüsteemi kordajate hõreda maatriksi muster (hõreda maatriksi spA(8,8) nullist erinevate elementide asukohad).

Joonis 2.3. Lausmoment konsoolil. Hõreda maatriksi spA muster

Sisestatud võrrandisüsteemi kordajad hõredas maatriksis spA on esitatud arvutuspäeviku väljavõttes 2.1.

Väljavõte arvutuspäevikust 2.1 ( Naide2_1.m )  

spA =
Compressed Column Sparse (rows = 8, cols = 8, nnz = 20 [31%])

  (1, 1) ->  1
  (5, 1) ->  1
  (1, 2) -> -7604.6
  (2, 2) -> -1
  (6, 2) ->  1
  (1, 3) ->  20.649
  (2, 3) ->  0.0058760
  (3, 3) -> -1.5431
  (4, 3) -> -0.0058760
  (1, 4) ->  1332.3
  (2, 4) ->  0.54308
  (3, 4) -> -235.04
  (4, 4) -> -1.5431
  (1, 5) -> -1
  (2, 6) -> -1
  (8, 6) ->  1
  (3, 7) -> -1
  (7, 7) ->  1
  (4, 8) -> -1
  (8, 8) ->  1

Sisestatud võrrandisüsteemi vabaliikmete vektor B on esitatud arvutuspäeviku väljavõttes 2.2.

Väljavõte arvutuspäevikust 2.2 ( Naide2_1.m )  

B =

                                                                                                                                       
   1.3104e+07                                                                                                                                            
   7.0080e+03                                                                                                                                            
  -4.3446e+06                                                                                                                                            
  -4.7008e+04                                                                                                                                            
   0.0000e+00                                                                                                                                            
   0.0000e+00                                                                                                                                            
   0.0000e+00                                                                                                                                            
   0.0000e+00

Algparameetrite arvutus. Rajaväärtuste leidmisel korrutasime väändenurgad skaleerimisteguriga: $baasi0 = 1.0\hspace*{-2pt}\times\hspace*{-2pt}10^{10}$. Skaleerimata algparameetrite saamiseks tuleb vastavad suurused jagada skaleerimisteguriga. Konsooli skaleerimata algparameetrid on toodud arvutuspäeviku väljavõttes 2.3.

Väljavõte arvutuspäevikust 2.3 ( Naide2_1.m )  

 Algparameetrid - AP1   
 theta -     0.0000e+00 
    Tt -     0.0000e+00 
     B -    -3.2772e+06 
    Tw -     4.0000e+04

Väändenurkade ja väändemomentide arvutus. Väändenurkade ja väändemomentide leidmiseks konsooli ristlõigetes kasutame ülekandevõrrandit (C.1)

$$\mathbf{Z_{L}\left( x\right) } = \mathbf{U}\cdot\mathbf{Z_{A}} + \mathbf{\stackrel{\rm\circ}{Z}}$$ (2.95)

kus $\mathbf{Z_{A}}$ on konsooli algparameetrid (vt arvutuspäeviku väljavõte 2.3). Ülekandemaatriksi $\mathbf{U}$ leiame GNU Octave'i funktsiooniga ylWGfhlin.m ja koormusvektori $\mathrm{\mathbf{\stackrel{\rm\circ}{Z}}}$ funktsioonidega yzWGmx.m ja yzWGmx.m (vt väljavõte programmist 2.3).

Joonis 2.4. Pinna pluss- ja miinuspool

Varda algul, ristlõike negatiivsel pinnal (x = 0, $n^{-}$) (jn 2.4), on algparameetrid I ja II märgikokkuleppe puhul eri märkidega (jn 1.17). Arvutiprogrammiga leiame algparameetrid II märgikokkuleppe järgi, sisejõudude märgi määrame aga vastavalt I märgikokkuleppele. Plusspinnal on sisejõud I ja II märgikokkuleppe puhul sama märgiga. Seega arvutame sisejõud avaldisega (2.95) ka varda algul ristlõike plusspoolel (x = 0, $n^{+}$), nii saame sisejõud I märgikokkuleppe järgi.

Pinna pluss- ja miinuspool^2.10

Väljavõte programmist 2.3 ( Naide2_1.m )  

 


AP=AlgPar(:,1)
baasi0=1.0
Nmitmeks=4
xx=0;
xsamm=l/Nmitmeks;
for ij=1:Nmitmeks+1  # 5 - displacements and forces at x=0.0   
Xloikes(ij,1)=xx;
  vvF=ylWGfhlin(baasi0,l,xx,GIt,EIw);
  vvB=yzWGmx(baasi0,l,xx,a,mx,GIt,EIw);  # koormusvektori arvutus
 Fvv(1:4,ij)=vvF*AP+vvB;
 Fvv(5,ij)=Fvv(2,ij)+Fvv(4,ij);
xx=xx+xsamm;
endfor

Arvutustulemused on esitatud arvutuspäeviku väljavõttes 2.4.

Väljavõte arvutuspäevikust 2.4 ( Naide2_1.m )  

baasi0 =  1
Nmitmeks =  4
k =  0.0050000
      x=       0.00        50.00        100.00       150.00       200.00
 theta -    0.000e+00   -3.169e-04   -1.029e-03   -1.881e-03   -2.748e-03
    Tt -    0.000e+00   -2.987e+03   -4.277e+03   -4.580e+03   -4.542e+03
     B -    3.277e+06    1.611e+06    5.477e+05    2.185e+04   -9.313e-10
    Tw -   -4.000e+04   -2.701e+04   -1.572e+04   -5.420e+03    4.542e+03
  Tsum -   -4.000e+04   -3.000e+04   -2.000e+04   -1.000e+04   -2.001e-11
   
     x =      177.1936900000
 theta -   -2.354e-03 
    Tt -   -4.561e+03 
     B -   -5.173e+04 
    Tw -    1.333e-03 
  Tsum -   -4.561e+03

Leitud tulemuste põhjal koostame epüürid lausmomendist konsoolil (jn 2.5).

Joonis 2.5. Lausmoment konsoolil. Epüürid

       

 

(a) Koormus m_x = –200 N (vt tabel 1.1)

 

(b) Väändenurk θ

     

 

(c) Vabaväändemoment T_t

     

(d) Bimoment B_ω

     

(e) Kooldeväändemoment T_ω

     

 

(f) Koguväändemoment T_sum

     

Tabelist 2.2 näeme, et EST-meetodiga saadud tulemused on kooskõlas raamatus [Sad63] toodutega.

Tabel 2.2. Lausmoment konsoolil. Tulemuste võrdlus

x [cm]	Z(x)	[Sad63]	Mõõtühik	EST-meetod	Mõõtühik
0.0	θ		rad	0.000	rad
	Tt	0.00	kG·cm	0.000	N·cm
	Bω	3.28×105	kG·cm2	3.277×106	N·cm2
	Tω	–4.00×103	kG·cm	–4.000×104	N·cm
	Tsum	–4.00×103	kG·cm	–4.000×104	N·cm
50	θ		rad	–3.169×10–4	rad
	Tt		kG·cm	–2.987×103	N·cm
	Bω		kG·cm2	1.611×106	N·cm2
	Tω		kG·cm	–2.701×104	N·cm
	Tsum		kG·cm	–3.000×104	N·cm
100	θ	–1.6×10–4	rad	–1.029×10–3	rad
	Tt	–4.20×102	kG·cm	–4.277×103	N·cm
	Bω	5.47×104	kG·cm2	5.477×105	N·cm2
	Tω	–1.58×103	kG·cm	–1.572×104	N·cm
	Tsum	–2.00×103	kG·cm	–2.000×104	N·cm
177	θ	–2.4×10–4	rad	–2.351×10–3	rad
	Tt	–4.60×102	kG·cm	–4.562×103	N·cm
	Bω	–5.23×103	kG·cm2	–5.173×104	N·cm2
	Tω	0.00	kG·cm	–3.849×101	N·cm
	Tsum	–4.60×102	kG·cm	–4.600×103	N·cm
200	θ	–2.9×10–4	rad	–2.748×10–3	rad
	Tt	–4.54×102	kG·cm	–4.542×103	N·cm
	Bω	0.00	kG·cm2	–9.313×10–10	N·cm2
	Tω	4.54×102	kG·cm	4.542×103	N·cm
	Tsum	0.00	kG·cm	–2.001×10–11	N·cm