2.3.1.7 Pikikoormus vardal

Näide 2.7 (pikikoormus vardal). Koostada joonisel 2.21 kujutatud varda väändenurga θ , vabaväändemomendi T_t, bimomendi B_ω ja kooldeväändemomendi T_ω epüürid.

**Joonis 2.21.** Pikikoormus vardal
$\includegraphics[width=130mm]{joonised/NaideYlekand7.eps}$

Andmed. Varda pikkus $l = 4.0\hspace*{1pt}\mathrm{m}$ . Varras on ekstsentriliselt koormatud pikijõuga $F = 100\hspace*{1pt}\mathrm{kN}$ . Varda otspinnal on pikikoormuse rakenduspunkti sektorkoordinaat $\omega_{F} = 30\hspace*{1pt}\mathrm{cm}$ ( $B_{\omega}=3.0\hspace*{-2pt}\times\hspace*{-3pt} 10^{6}\hspace*{1pt}\mathrm{N}\hspace*{-2pt}\cdot\hspace*{-2pt}\mathrm{cm^{2}}$ ). Ristlõike kooldejäikus $\mathrm{(}$ EI_ω = $2.9686\hspace*{-2pt}\times\hspace*{-3pt}10^{4}\hspace*{1pt}\mathrm{kN}\hspace*{-2pt}\cdot\hspace*{-2pt}\mathrm{m^{4}}\mathrm{)}$ , vabaväändejäikus $\mathrm{(}$ GI_t = $1.1875\hspace*{-2pt}\times\hspace*{-3pt}10^{3}\hspace*{1pt}\mathrm{kN}\hspace*{-2pt}\cdot\hspace*{-2pt}\mathrm{m^{2}}\mathrm{)}$ ja kooldekarakteristik $\mathrm{(}$ κ = $\sqrt{GI_{t}/E\hspace*{1pt}I_{\omega}} = \sqrt{1.1875\hspace*{-2pt}\times\hspa... ...2pt}\times\hspace*{-3pt}10^{15}} = 0.002\hspace*{1pt}\mathrm{cm^{-1}}\mathrm{)}$ on konstantsed.

Lahendus. Vaatleme varrast ühe elemendina, siis sisesidemed [Jür85, lk 8-9] puuduvad. Rajatingimuste $W_{r}$ seadmisel on arvestatud energiateoreemi (B.8).

$\displaystyle W_{r} = \left[ T_{sum}{\theta} - B_{\omega}{\theta^{\prime}} - b_{\omega}{\theta} \right]\bigm\vert _{0}^{l}$

(2.131)

Siit näeb, milline rajatingimus on antud ja milline leitakse. Esimese toe toetingimuste paarides on antud väändenurk θ $ = 0$ ja bimoment B_ω = $- 3.0\times 10^{6}\hspace*{1pt}\mathrm{N}\hspace*{-2pt}\cdot\hspace*{-2pt}\mathrm{cm^{2}}$ . Tundmatud on suhteline väändenurk θ^' ( $T_{t} = GI_{t}\theta^{\prime}$ ) ja koguväändemoment T_sum $= T_{t} + T_{\omega}$ .

Varda lõpus on antud väändenurk θ $ = 0$ ja bimoment B_ω $= 3.0\times 10^{6}\hspace*{1pt}\mathrm{N}\hspace*{-2pt}\cdot\hspace*{-2pt}\mathrm{cm^{2}}$ . Tundmatuks jäävad suhteline väändenurk θ^' ( $T_{t} = GI_{t}\theta^{\prime}$ ) ja koguväändemoment T_sum = T_t + T_ω .

Rajaväärtuste arvutamiseks kasutame nagu EST-meetodi [Lah97a], [Lah14] puhulgi hõredat võrrandisüsteemi ^2.27

$\displaystyle \mathbf{spA}\bm{\cdot}\mathbf{Z} = \mathbf{B}$

(2.132)

kus $\mathbf{Z}$ on võrrandisüsteemi tundmatute vektor

$\displaystyle \mathbf{Z} = \mathbf{\widehat{Z}} = \left[\begin{array}{c} \mathbf{Z_{a}} \\ \mathbf{Z_{b}} \end{array}\right]$

(2.133)

mille elementideks on väändenurgad ja -momendid varda alguses ja lõpus (jn 2.22):

$\displaystyle \mathbf{Z_{a}} = \left[\begin{array}{c} {\theta}_{A} \\ {T_{t}}_... ...,1\right) \\ Z\left(7,1\right) \\ Z\left(8,1\right) \end{array}\right] \qquad$

(2.134)

Muutuja $Z\left(i,1\right)$ indeks (i=1, 2, 3, $\ldots$ , 8) on toodud joonisel 2.22.

**Joonis 2.22.** Pikikoormus vardal. Muutujad
$\includegraphics[width=95mm]{joonised/Naide27aMuutujad.eps}$

Põhivõrrandites (2.84) [Lah12, jn 14.9] ^2.28

$\displaystyle \mathbf{\widehat{UI}}_{4\times 8}\bm{\cdot}\mathbf{\widehat{Z}} = \mathbf{-\stackrel{\rm\circ}{Z}}$

(2.135)

sisalduva laiendatud ülekandemaatriksi $\mathbf{\widehat{UI}}_{4\times 8} \equiv \boldsymbol{\left( U_{4\times 4}\mid -I_{4\times 4}\right)}$ (2.87) arvutamiseks saab kasutada GNU Octave'i funktsiooni yspWGvfmhvI.m. Siin $\mathrm{\mathbf{\stackrel{\rm\circ}{Z}}}$ on tala takistatud väände koormusvektor (C.8).

Võrrandisüsteemis on (2.135) tundmatuid poole rohkem kui võrrandeid. Kanname need võrrandid võrrandisüsteemi (2.132) (vt väljavõte programmist 2.19).

Väljavõte programmist 2.19 ( Naide2_7.m )

            
            # Tala hõreda laiendatud ülekandemaatriksi arvutus 
spvF=yspWGvfmhvI(baasi0,l,GIt,EIw); 
%vB=yzWGBy(baasi0,l,l,a,By,GIt,EIw); # koormusvektori arvutus
IIv=1;
IJv=1;
%vB=vB.*(-1);
            # sisestab ülekandemaatriksi võrrandisüsteemi spA*Z=Bvb
spA=spInsertBtoA(spA,IIv,IJv,spvF);     
%            # sisestab koormusvektori võrrandisüsteemi vabaliikmesse Bv
%Bvb=InsertBtoA(Bvb,NNK,1,IIv,1,vB,4,1);  
            # võrrandisüsteemi vabaliige Bvb on eelnevalt nullitud

Võrrandisüsteemis (2.132) peab olema võrrandeid ja tundmatuid ühepalju. Võrrandite arv peab ühtima maatriksi $\mathbf{spA}$ astakuga. Puuduvad sõltumatud võrrandid saame kinemaatilistest ja staatilistest rajatingimustest (vt jaotis 3.1).

Nüüd

-: püstitame rajatingimused;
-: arvutame algparameetrid;
-: arvutame väändenurgad ja väändemomendid;
-: koostame sisejõudude epüürid.

Rajatingimuste püstitus. Väliste rajatingimuste seadmisel tuleb arvestada energiateoreemi ^2.29 (B.8). Kui avaldistes ${\theta}\Leftrightarrow T_{sum}$ , ${\theta^{\prime}}\Leftrightarrow {B_{\omega}}$ üks pool (pöördenurk $\theta$ , bimoment $B_{\omega}$ ) on antud, siis teine pool (koguväändemoment $T_{sum}$ , suhteline väändenurk ${\theta^{\prime}}$ ) on tundmatu.

Varda toed sõlmedes a ja b ei võimalda pööret: θ $ = 0$ . Sõlmes a on bimoment B_ω $= - 3.0\hspace*{-2pt}\times\hspace*{-3pt}10^{6}\hspace*{1pt}\mathrm{N}\hspace*{-2pt}\cdot\hspace*{-2pt}\mathrm{cm^{2}}$ . Sõlmes b on bimoment B_ω $= 3.0\hspace*{-2pt}\times\hspace*{-3pt}10^{6}\hspace*{1pt}\mathrm{N}\hspace*{-2pt}\cdot\hspace*{-2pt}\mathrm{cm^{2}}$ . Tundmatud on suhteline väändenurk θ^' ja koguväändemoment T_sum.

$\begin{displaymath}\begin{array}{lclcc} Z\left(1,1\right) & = & {\theta_{A}} & =... ...hspace*{-2pt}\mathrm{cm^{2}} \end{array}<tex2html_comment_mark>\end{displaymath}$

(2.136)

Koostatud on neli rajatingimuse võrrandit. Sisestame need võrrandisüsteemi (2.132) (vt väljavõte programmist 2.20). Võrrandisüsteemi astak võrdub tundmatute arvuga. Järelikult on sisestatud võrrandid lineaarselt sõltumatud.

Väljavõte programmist 2.20 ( Naide2_7.m )

####### Rajatingimused 
spA=spSisestaArv(spA,5,1,1);  # $theta_A$ - väändenurk
spA=spSisestaArv(spA,6,3,1);  # $B_{L}$ - bimoment 
Bvb(6,1)=-By; # -3.0e+06;
spA=spSisestaArv(spA,7,5,1);  # $theta_A$ - väändenurk
spA=spSisestaArv(spA,8,7,1);  # $B_{L}$ - bimoment 
Bvb(8,1)= By;  # 3.0e+06;
#vastavad vabaliikmed Bvb on juba nullitud
spA_rank = sprank(spA) # võrrandisüsteemi astak

Sisestatud võrrandisüsteemi kordajad hõredas maatriksis spA on esitatud arvutuspäeviku väljavõttes 2.24.

Väljavõte arvutuspäevikust 2.24 ( Naide2_7.m )

spA =
Compressed Column Sparse (rows = 8, cols = 8, nnz = 19 [30%])

  (1, 1) ->  1
  (5, 1) ->  1                                                                                                                                           
  (1, 2) -> -336.87                                                                                                                                      
  (2, 2) -> -1                                                                                                                                           
  (1, 3) ->  0.28417                                                                                                                                     
  (2, 3) ->  0.0017761                                                                                                                                   
  (3, 3) -> -1.3374                                                                                                                                      
  (4, 3) -> -0.0017761                                                                                                                                   
  (6, 3) ->  1                                                                                                                                           
  (1, 4) ->  37.099                                                                                                                                      
  (2, 4) ->  0.33742                                                                                                                                     
  (3, 4) -> -444.05                                                                                                                                      
  (4, 4) -> -1.3374                                                                                                                                      
  (1, 5) -> -1                                                                                                                                           
  (7, 5) ->  1                                                                                                                                           
  (2, 6) -> -1                                                                                                                                           
  (3, 7) -> -1                                                                                                                                           
  (8, 7) ->  1

Sisestatud võrrandisüsteemi vabaliikmete vektor B on 700dud arvutuspäeviku väljavõttes 2.25.

Väljavõte arvutuspäevikust 2.25 ( Naide2_7.m )

B =

Algparameetrite arvutus. Rajaväärtuste leidmisel korrutasime väändenurgad skaleerimisteguriga: $baasi0 = 1.0\hspace*{-2pt}\times\hspace*{-2pt}10^{10}$ . Skaleerimata algparameetrite saamiseks tuleb vastavad suurused jagada skaleerimisteguriga. Tala skaleerimata algparameetrid on toodud arvutuspäeviku väljavõttes 2.26.

Väljavõte arvutuspäevikust 2.26 ( Naide2_7.m )

 Algparameetrid - AP1   
 theta -     0.0000e+00 
    Tt -    -2.2796e+03 
     B -    -3.0000e+06 
    Tw -     2.2796e+03

Väändenurkade ja väändemomentide arvutus. Väändenurkade ja väändemomentide leidmiseks tala ristlõigetes kasutame ülekandevõrrandit (C.1)

$\displaystyle \mathbf{Z_{L}\left( x\right) } = \mathbf{U}\cdot\mathbf{Z_{A}} + \mathbf{\stackrel{\rm\circ}{Z}}$

(2.137)

kus $\mathbf{Z_{A}}$ on tala algparameetrid (vt arvutuspäeviku väljavõte 2.26). Ülekandemaatriksi $\mathbf{U}$ leiame GNU Octave'i funktsiooniga ylWGfhlin.m. Koormusvektor $\mathbf{\stackrel{\rm\circ}{Z}} = 0$ (vt väljavõte programmist 2.21).

Väljavõte programmist 2.21 ( Naide2_7.m )

 


AP=AlgPar(:,1)
baasi0=1.0
Nmitmeks=4
xx=0;
xsamm=l/Nmitmeks;
for ij=1:Nmitmeks+1  # 5 - displacements and forces at x=0.0   
Xloikes(ij,1)=xx;
  vvF=ylWGfhlin(baasi0,l,xx,GIt,EIw);
 Fvv(1:4,ij)=vvF*AP;  %+vvB;
 Fvv(5,ij)=Fvv(2,ij)+Fvv(4,ij);
xx=xx+xsamm;
endfor

Arvutustulemused on esitatud arvutuspäeviku väljavõttes 2.27.

Väljavõte arvutuspäevikust 2.27 ( Naide2_7.m )

baasi0 =  1
Nmitmeks =  4
k =  0.0020000
      x=       0.00       100.00        200.00       300.00       400.00
 theta -    0.000e+00    1.426e-05    1.895e-05    1.426e-05    1.186e-20
    Tt -    2.280e+03    1.117e+03   -5.116e-13   -1.117e+03   -2.280e+03
     B -    3.000e+06    2.831e+06    2.775e+06    2.831e+06    3.000e+06
    Tw -   -2.280e+03   -1.117e+03    0.000e+00    1.117e+03    2.280e+03
  Tsum -   -4.547e-13   -4.547e-13   -5.116e-13   -4.547e-13   -4.547e-13

Leitud tulemuste põhjal koostame epüürid pikikoormusest vardal (jn 2.23).

**Joonis 2.23.** Pikikoormus vardal. Epüürid

$\includegraphics[width=101mm]{joonised/Naide27aEpyyrid.eps}$

`(a) Koormus B_ω = 3.0 MN·cm² (vt tabel 1.1)`

$\includegraphics[width=96mm]{joonised/Naide27atheta.eps}$

`(b) Väändenurk θ`

$\includegraphics[width=96mm]{joonised/Naide27aTt.eps}$

`(c) Vabaväändemoment T_t`

$\includegraphics[width=96mm]{joonised/Naide27aBw.eps}$

`(d) Bimoment B_ω`

$\includegraphics[width=96mm]{joonised/Naide27aTw.eps}$

`(e) Kooldeväändemoment T_ω`

$\includegraphics[width=96mm]{joonised/Naide27aTsum.eps}$

`(f) Koguväändemoment T_sum`

EST-meetodiga saadud tulemused on kooskõlas raamatus [Bõt62] jõu- ja deformatsioonimeetodi abil leitutega (vt tabel 2.8).

**Tabel 2.8.** Pikikoormus vardal. Tulemuste võrdlus
x [cm]	Z(x)	[Sad63]	Mõõtühik	EST-meetod	Mõõtühik
0.0	θ		rad	0.000×10⁰	rad
	T_t	2.28×10²	kG·cm	2.280×10³	N·cm
	B_ω	3.00×10⁵	kG·cm²	3.000×10⁶	N·cm²
	T_ω	–2.28×10²	kG·cm	–2.280×10³	N·cm
	T_sum		kG·cm	–4.547×10^–13	N·cm
100	θ		rad	1.426×10^–5	rad
	T_t	1.12×10²	kG·cm	1.117×10³	N·cm
	B_ω	2.83×10⁵	kG·cm²	2.831×10⁶	N·cm²
	T_ω	–1.12×10²	kG·cm	–1.117×10³	N·cm
	T_sum		kG·cm	–4.547×10^–13	N·cm
200	θ		rad	1.895×10^–5	rad
	T_t	0.00	kG·cm	–5.116×10^–13	N·cm
	B_ω	2.77×10⁵	kG·cm²	2.775×10⁶	N·cm²
	T_ω	0.00	kG·cm	0.000×10⁰	N·cm
	T_sum		kG·cm	–4.547×10^–13	N·cm
300	θ		rad	1.426×10^–5	rad
	T_t	–1.12×10²	kG·cm	–1.117×10³	N·cm
	B_ω	2.83×10⁵	kG·cm²	2.831×10⁶	N·cm²
	T_ω	1.12×10²	kG·cm	1.117×10³	N·cm
	T_sum		kG·cm	–4.547×10^–13	N·cm
400	θ		rad	1.186×10^–20	rad
	T_t	–2.28×10²	kG·cm	–2.280×10³	N·cm
	B_ω	3.00×10⁵	kG·cm²	3.000×10⁶	N·cm²
	T_ω	2.28×10²	kG·cm	2.280×10³	N·cm
	T_sum		kG·cm	–4.547×10^–13	N·cm