2.3.1.8 Laus- ja koondkoormus konsoolil

Näide 2.8 (laus- ja koondkoormus konsoolil). Koostada joonisel 2.24 kujutatud konsooli väändenurga θ, vabaväändemomendi T_t, bimomendi B_ω ja kooldeväändemomendi T_ω epüürid.

**Joonis 2.24.** Laus- ja koondkoormus konsoolil
$\includegraphics[width=115mm]{joonised/NaideYlekand8.eps}$

Andmed. Konsooli pikkus $l = 4.0\hspace*{1pt}\mathrm{m}$ . Konsool on ekstsentriliselt koormatud lauskoormusega $q = 4.0\hspace*{1pt}\mathrm{kN/ m}$ ( $m_{x} = -240\hspace*{1pt}\mathrm{(}\mathrm{N}\hspace*{-2pt}\cdot\hspace*{-2pt}\mathrm{cm}\mathrm{)}/\mathrm{cm}$ ). Vertikaalse lauskoormuse $ q$

ekstsentrilisus $e = 6\hspace*{1pt}\mathrm{cm}$ . Konsoolile on ekstsentriliselt rakendatud moment $M_{y} = -1.0\hspace*{1pt}\mathrm{kN\hspace*{-2pt}\cdot\hspace*{-2pt}m}$ ( $B_{\omega} = 600\hspace*{1pt}\mathrm{kN\hspace*{-2pt}\cdot\hspace*{-2pt}cm^{2}}$ ). Konsool on ekstsentriliselt koormatud koondatud jõuga $F = 2 \hspace*{1pt}\mathrm{kN}$ ( $M_{x} = - 12.0\hspace*{1pt}\mathrm{kN\hspace*{-2pt}\cdot\hspace*{-2pt}cm}$ ). Vertikaalse jõu $ F$

ekstsentrilisus $e = 5\hspace*{1pt}\mathrm{cm}$ . Ristlõike kooldejäikus $\mathrm{(}$ EI_ω = $7.560\hspace*{-2pt}\times\hspace*{-3pt}10^{4}\hspace*{1pt}\mathrm{kN}\hspace*{-2pt}\cdot\hspace*{-2pt}\mathrm{m^{4}}\mathrm{)}$ , vabaväändejäikus $\mathrm{(}$ GI_t = $2.7216\hspace*{-2pt}\times\hspace*{-3pt}10^{4}\hspace*{1pt}\mathrm{kN}\hspace*{-2pt}\cdot\hspace*{-2pt}\mathrm{m^{2}}\mathrm{)}$ ja kooldekarakteristik $\mathrm{(}$ κ = $\sqrt{GI_{t}/E\hspace*{1pt}I_{\omega}} = \sqrt{2.7216\hspace*{-2pt}\times\hspa... ...2pt}\times\hspace*{-3pt}10^{12}} = 0.006\hspace*{1pt}\mathrm{cm^{-1}}\mathrm{)}$ on konstantsed.

Lahendus. Vaatleme konsooli ühe elemendina, siis sisesidemed [Jür85, lk 8-9] puuduvad. Rajatingimuste $W_{r}$ seadmisel on arvestatud energiateoreemi (B.8).

$\displaystyle W_{r} = \left[ T_{sum}{\theta} - B_{\omega}{\theta^{\prime}} - b_{\omega}{\theta} \right]\bigm\vert _{0}^{l}$

(2.138)

Siit selgub, milline rajatingimus on antud ja milline leitakse. Esimese toe toetingimuste paarides $T_{sum}\Leftrightarrow {\theta}$ ja $B_{\omega}\Leftrightarrow {\theta^{\prime}}$ on antud väändenurk θ $ = 0$ ja suhteline väändenurk θ^' $ = 0$ . Seega on esimene tugi jäik ning ei võimalda pööret ega kooldumist. Tundmatud on bimoment B_ω ja koguväändemoment T_sum.

Konsooli lõpus on bimoment B_ω $ = 0$ ja koguväändemoment T_sum $= T_{t} + T_{\omega} = - 12.0\hspace*{1pt}\mathrm{kN\hspace*{-2pt}\cdot\hspace*{-2pt}cm}$ . Tundmatuks jäävad väändenurk θ ja suhteline väändenurk θ^' ( $T_{t} = GI_{t}\theta^{\prime}$ ).

Rajaväärtuste arvutamiseks kasutame nagu EST-meetodi [Lah97a], [Lah14] puhulgi hõredat võrrandisüsteemi ^2.30

$\displaystyle \mathbf{spA}\bm{\cdot}\mathbf{Z} = \mathbf{B}$

(2.139)

kus $\mathbf{Z}$ on võrrandisüsteemi tundmatute vektor

$\displaystyle \mathbf{Z} = \mathbf{\widehat{Z}} = \left[\begin{array}{c} \mathbf{Z_{a}} \\ \mathbf{Z_{b}} \end{array}\right]$

(2.140)

mille elementideks on väändenurgad ja -momendid konsooli alguses ja lõpus (jn 2.25):

$\displaystyle \mathbf{Z_{a}} = \left[\begin{array}{c} {\theta}_{A} \\ {T_{t}}_... ...,1\right) \\ Z\left(7,1\right) \\ Z\left(8,1\right) \end{array}\right] \qquad$

(2.141)

Muutuja $Z\left(i,1\right)$ indeks (i=1, 2, 3, $\ldots$ , 8) on toodud joonisel 2.25.

**Joonis 2.25.** Laus- ja koondkoormus konsoolil. Muutujad
$\includegraphics[width=90mm]{joonised/Naide28aMuutujad.eps}$

Põhivõrrandites (2.84) [Lah12, jn 14.9] ^2.31

$\displaystyle \mathbf{\widehat{UI}}_{4\times 8}\bm{\cdot}\mathbf{\widehat{Z}} = \mathbf{-\stackrel{\rm\circ}{Z}}$

(2.142)

sisalduva laiendatud ülekandemaatriksi $\mathbf{\widehat{UI}}_{4\times 8} \equiv \boldsymbol{\left( U_{4\times 4}\mid -I_{4\times 4}\right)}$ (2.87) arvutamiseks saab kasutada GNU Octave'i funktsiooni yspWGvfmhvI.m.

Võrrandisüsteemis (2.142) on tundmatuid poole rohkem kui võrrandeid. Kanname need võrrandid võrrandisüsteemi (2.139) (vt väljavõte programmist 2.22).

Väljavõte programmist 2.22 ( Naide2_8.m )

            # Tala hõreda laiendatud ülekandemaatriksi arvutus
spvF=yspWGvfmhvI(baasi0,l,GIt,EIw); 
vB1q=yzWGmx(baasi0,l,l,a1,mx,GIt,EIw); # koormusvektori arvutus
vB2q=yzWGmx(baasi0,l,l,a2,-mx,GIt,EIw);
vB3B=yzWGBy(baasi0,l,l,a3,By,GIt,EIw);
vB=vB1q+vB2q+vB3B;
IIv=1;
IJv=1;
vB=vB.*(-1);
            # sisestab ülekandemaatriksi võrrandisüsteemi spA*Z=Bvb
spA=spInsertBtoA(spA,IIv,IJv,spvF);   
            # sisestab koormusvektori võrrandisüsteemi vabaliikmesse Bvb
Bvb=InsertBtoA(Bvb,NNK,1,IIv,1,vB,4,1); 
            # võrrandisüsteemi vabaliige Bvb on eelnevalt nullitud

Võrrandisüsteemis (2.139) peab olema võrrandeid ja tundmatuid ühepalju. Võrrandite arv peab ühtima maatriksi $\mathbf{spA}$ astakuga. Puuduvad sõltumatud võrrandid saame kinemaatilistest ja staatilistest rajatingimustest (vt jaotis 3.1).

Edasi

-: püstitame rajatingimused;
-: arvutame algparameetrid;
-: arvutame väändenurgad ja väändemomendid;
-: koostame sisejõudude epüürid.

Rajatingimuste püstitus. Väliste rajatingimuste seadmisel tuleb arvestada energiateoreemi ^2.32 (B.8). Kui avaldistes ${\theta}\Leftrightarrow T_{sum}$ , ${\theta^{\prime}}\Leftrightarrow {B_{\omega}}$ üks pool (pöördenurk $\theta$ , suhteline väändenurk ${\theta^{\prime}}$ ) on antud, siis teine pool (koguväändemoment $T_{sum}$ , bimoment $B_{\omega}$ ) on tundmatu.

Jäik tugi konsooli sõlmes a ei võimalda pööret ega kooldumist (vt tabel 1.2). Tundmatuks on bimoment B_ω ja koguväändemoment T_sum . Viimases $\left( T_{sum} = T_{t} + T_{\omega}\right)$ on vabaväändemoment T_t = GI_tθ^' antud. Tundmatuks jääb kooldeväändemoment T_ω .

Konsooli otsas, sõlmes b, on antud bimoment B_ω $ = 0$ ja koguväändemoment $T_{sum} = - 1.2\times 10^{4}\hspace*{1pt}\mathrm{N\hspace*{-2pt}\cdot\hspace*{-2pt}cm}$ . Tundmatud on pöördenurk $\theta$ ja suhteline väändenurk ${\theta^{\prime}}$ ( $GI_{t}\theta^{\prime} = T_{t}$ ).

$\begin{displaymath}\begin{array}{lclccl} Z\left(1,1\right) & = & {\theta_{A}} & ... ... \\ & & & & T_{sum L} & = 0 \end{array}<tex2html_comment_mark>\end{displaymath}$

(2.143)

Koostatud on neli rajatingimuse võrrandit. Sisestame need võrrandisüsteemi (2.139) (vt väljavõte programmist 2.23). Võrrandisüsteemi astak võrdub tundmatute arvuga. Järelikult on sisestatud võrrandid lineaarselt sõltumatud.

Väljavõte programmist 2.23 ( Naide2_8.m )

####### Rajatingimused 
spA=spSisestaArv(spA,5,1,1);  # $theta(1)$ - väändenurk
spA=spSisestaArv(spA,6,2,1);  # $Tt(2)$  
spA=spSisestaArv(spA,7,7,1);  # $B(7)$ -bimoment 
Bvb(7,1)=0.0;
spA=spSisestaArv(spA,8,6,1);  # $Tt(6)$ - 
spA=spSisestaArv(spA,8,8,1);  # $Tw(8)  = $Tsum 
Bvb(8,1)=Mx;  #Mx=-12000.0 Ncm;
# 
#vastavad vabaliikmed Bvb on juba nullitud
#
spA_rank = sprank(spA) # võrrandisüsteemi astak

Sisestatud võrrandisüsteemi kordajad hõredas maatriksis spA on esitatud arvutuspäeviku väljavõttes 2.28.

Väljavõte arvutuspäevikust 2.28 ( Naide2_8.m )

spA =
Compressed Column Sparse (rows = 8, cols = 8, nnz = 20 [31%])

  (1, 1) ->  1
  (5, 1) ->  1
  (1, 2) -> -14.697
  (2, 2) -> -1
  (6, 2) ->  1
  (1, 3) ->  0.16744
  (2, 3) ->  0.032797
  (3, 3) -> -5.5569
  (4, 3) -> -0.032797
  (1, 4) ->  18.777
  (2, 4) ->  4.5569
  (3, 4) -> -911.04
  (4, 4) -> -5.5569
  (1, 5) -> -1
  (2, 6) -> -1
  (8, 6) ->  1
  (3, 7) -> -1
  (7, 7) ->  1
  (4, 8) -> -1
  (8, 8) ->  1

Sisestatud võrrandisüsteemi vabaliikmete vektor B on toodud arvutuspäeviku väljavõttes 2.29.

Väljavõte arvutuspäevikust 2.29 ( Naide2_8.m )

B =

                                                                                                                                       
   9.3113e+04                                                                                                                                            
   3.1017e+04                                                                                                                                            
  -7.9342e+06                                                                                                                                            
  -5.5017e+04                                                                                                                                            
   0.0000e+00                                                                                                                                            
   0.0000e+00                                                                                                                                            
   0.0000e+00                                                                                                                                            
  -1.2000e+04

Algparameetrite arvutus. Rajaväärtuste leidmisel korrutasime väändenurgad skaleerimisteguriga: $baasi0 = 1.0\hspace*{-2pt}\times\hspace*{-2pt}10^{10}$ . Skaleerimata algparameetrite saamiseks tuleb vastavad suurused jagada skaleerimisteguriga. Konsooli skaleerimata algparameetrid on toodud arvutuspäeviku väljavõttes 2.30.

Väljavõte arvutuspäevikust 2.30 ( Naide2_8.m )

 Algparameetrid - AP1   
 theta -     0.0000e+00 
    Tt -     0.0000e+00 
     B -    -4.4743e+06 
    Tw -     3.6000e+04

Väändenurkade ja väändemomentide arvutus. Väändenurkade ja väändemomentide leidmiseks konsooli ristlõigetes kasutame ülekandevõrrandit (C.1)

$\displaystyle \mathbf{Z_{L}\left( x\right) } = \mathbf{U}\cdot\mathbf{Z_{A}} + \mathbf{\stackrel{\rm\circ}{Z}}$

(2.144)

kus $\mathbf{Z_{A}}$ on konsooli algparameetrid (vt arvutuspäeviku väljavõte 2.30). Ülekandemaatriksi $\mathbf{U}$ leiame GNU Octave'i funktsiooniga ylWGfhlin.m ning koormusvektori $\mathrm{\mathbf{\stackrel{\rm\circ}{Z}}}$ funktsioonidega yzWGmx.m ja yzWGMx.m (vt väljavõte programmist 2.24).

Väljavõte programmist 2.24 ( Naide2_8.m )

AP=AlgPar(:,1)
baasi0=1.0
Nmitmeks=4
xx=0;
xsamm=l/Nmitmeks;
vvB=zeros(4,1)
for ij=1:Nmitmeks+1  # 5 - displacements and forces at x=0.0   
Xloikes(ij,1)=xx;
   vvF=ylWGfhlin(baasi0,l,xx,GIt,EIw);
vB1q=yzWGmx(baasi0,l,xx,a1,mx,GIt,EIw); # koormusvektori arvutus
vB2q=yzWGmx(baasi0,l,xx,a2,-mx,GIt,EIw);
vB3B=yzWGBy(baasi0,l,xx,a3,By,GIt,EIw);
vvB=vB1q+vB2q+vB3B; 
 Fvv(1:4,ij)=vvF*AP+vvB;
 Fvv(5,ij)=Fvv(2,ij)+Fvv(4,ij);
xx=xx+xsamm;
endfor

Joonisel 2.26 on näidatud sisestatud võrrandisüsteemi kordajate hõreda maatriksi muster (hõreda maatriksi spA(8,8) nullist erinevate elementide asukohad).

**Joonis 2.26.** Laus- ja koondkoormus konsoolil. Hõreda maatriksi spA muster
$\includegraphics[width=0.70\textwidth]{joonised/spESTNaide2_8_sparse_matrix.eps}$

Arvutustulemused on arvutuspäeviku väljavõttes 2.31.

Väljavõte arvutuspäevikust 2.31 ( Naide2_8.m )

      x=       0.00       100.00        200.00       300.00       400.00
 theta -    0.000e+00   -2.241e-03   -6.639e-03   -1.155e-02   -1.663e-02
    Tt -    0.000e+00   -1.041e+04   -1.280e+04   -1.403e+04   -1.371e+04
     B -    4.474e+06    1.484e+06    2.810e+05   -1.815e+05   -5.588e-09
    Tw -   -3.600e+04   -2.559e+04    8.048e+02    2.028e+03    1.710e+03
  Tsum -   -3.600e+04   -3.600e+04   -1.200e+04   -1.200e+04   -1.200e+04

  
     x =      299.999
 theta -   -1.155e-02 
    Tt -   -1.403e+04 
     B -    4.185e+05 
    Tw -    2.028e+03 
  Tsum -   -1.200e+04  
  
     x =      196.782
 theta -   -6.487e-03 
    Tt -   -1.277e+04 
     B -    2.797e+05 
    Tw -    6.755e-02 
  Tsum -   -1.277e+04 
  
     x =      197.000
 theta -   -6.498e-03 
    Tt -   -1.277e+04 
     B -    2.797e+05 
    Tw -    5.458e+01 
  Tsum -   -1.272e+04

Leitud tulemuste põhjal koostame epüürid laus- ja koondkoormusest konsoolil (jn 2.27).

**Joonis 2.27.** Laus- ja koondkoormus konsoolil. Epüürid

$\includegraphics[width=105mm]{joonised/Naide28aEpyyrid.eps}$

`(a) Koormus m_x = 240 N, M_x = 12 kN·cm, B_ω = 600 kN·cm² (vt tabel 1.1)`

$\includegraphics[width=96mm]{joonised/Naide28atheta.eps}$

`(b) Väändenurk θ`

$\includegraphics[width=96mm]{joonised/Naide28aTt.eps}$

`(c) Vabaväändemoment T_t`

$\includegraphics[width=96mm]{joonised/Naide28aBw.eps}$

`(d) Bimoment B_ω`

$\includegraphics[width=96mm]{joonised/Naide28aTw.eps}$

`(e) Kooldeväändemoment T_ω`

$\includegraphics[width=96mm]{joonised/Naide28aTsum.eps}$

`(f) Koguväändemoment T_sum`

EST-meetodiga saadud tulemused on kooskõlas raamatus [Sad63] leitutega (vt tabel 2.9).

Laus- ja koondkoormus konsoolil. Tulemuste võrdlus

**Tabel 2.9.** Laus- ja koondkoormus konsoolil. Tulemuste võrdlus
x [cm]	Z(x)	[Sad63]	Mõõtühik	EST-meetod	Mõõtühik
0.0	θ		rad	0.000×10⁰	rad
	T_t	0.000	kG·cm	0.000×10⁰	N·cm
	B_ω	4.470×10⁵	kG·cm²	4.474×10⁶	N·cm²
	T_ω	–3.600×10³	kG·cm	–3.600×10⁴	N·cm
	T_sum	–3.600×10³	kG·cm	–3.600×10⁴	N·cm
100	θ		rad	–2.241×10^–3	rad
	T_t	1.040×10³	kG·cm	–1.041×10⁴	N·cm
	B_ω	1.480×10⁵	kG·cm²	1.484×10⁶	N·cm²
	T_ω	–2.560×10³	kG·cm	–2.559×10⁴	N·cm
	T_sum	–3.600×10³	kG·cm	–3.600×10⁴	N·cm
196.782	θ		rad	–6.487×10^–3	rad
	T_t		kG·cm	–1.277×10⁴	N·cm
	B_ω	2.720×10⁴	kG·cm²	2.797×10⁵	N·cm²
	T_ω		kG·cm	6.755×10^–2	N·cm
	T_sum		kG·cm	–1.277×10⁴	N·cm
200	θ		rad	–6.639×10^–3	rad
	T_t	1.276×10³	kG·cm	–1.280×10⁴	N·cm
	B_ω	2.730×10⁴	kG·cm²	2.810×10⁵	N·cm²
	T_ω	7.6×10¹	kG·cm	8.048×10²	N·cm
	T_sum	–1.200×10³	kG·cm	–1.200×10⁴	N·cm
300	θ		rad	–1.155×10^–2	rad
300	T_t	–1.395×10³	kG·cm	–1.403×10⁴	N·cm
300 – ε	B_ω	4.050×10⁴	kG·cm²	4.185×10⁵	N·cm²
300	B_ω	–1.950×10⁴	kG·cm²	–1.815×10⁵	N·cm²
	T_ω	1.95×10²	kG·cm	2.028×10³	N·cm
	T_sum	–1.200×10³	kG·cm	–1.200×10⁴	N·cm
400	θ		rad	–1.663×10^–2	rad
	T_t	–1.356×10³	kG·cm	–1.371×10⁴	N·cm
	B_ω	0.000	kG·cm²	–5.588×10^–9	N·cm²
	T_ω	1.56×10² ^2.33	kG·cm	1.710×10³	N·cm
	T_sum	–1.200×10³	kG·cm	–1.200×10⁴	N·cm

**Tabel 2.10.** Rajatingimused õhukeseseinalise varda väändel
Varda skeem	Rajatingimised		Valemid
$\includegraphics[width=35mm]{joonised/RaTingimus1.eps}$	x =0	θ^'' = 0	B_ω = –EI_ωθ^'' = 0
	x =0	T_sum = 0	T_sum = GI_tθ^'–EI_ωθ^''' = 0
	x = l	θ = 0
	x = l	θ^' = 0	T_t = GI_tθ^' = 0
$\includegraphics[width=34mm]{joonised/RaTingimus2.eps}$	x =0	θ= 0
	x =0	θ^' = 0	T_t = GI_tθ^' = 0
	x = l	B_ω = 0	B_ω = –EI_ωθ^'' = 0
	x = l	T_sum = 0	T_sum = GI_tθ^'–EI_ωθ^''' = 0
$\includegraphics[width=38mm]{joonised/RaTingimus3.eps}$	x =0	θ = 0
	x =0	B_ω = 0	B_ω = –EI_ωθ^'' = 0
	x = l	θ = 0
	x = l	B_ω = 0	B_ω = –EI_ωθ^'' = 0
$\includegraphics[width=38mm]{joonised/RaTingimus4.eps}$	x =0	θ = 0
	x =0	B_ω = 0	B_ω = –EI_ωθ^'' = 0
	x = l	θ = 0
	x = l	θ^' = 0	T_t = GI_tθ^' = 0
$\includegraphics[width=38mm]{joonised/RaTingimus5.eps}$	x =0	θ = 0
	x =0	θ^' = 0	T_t = GI_tθ^' = 0
	x = l	θ = 0
	x = l	B_ω = 0	B_ω = –EI_ωθ^'' = 0
$\includegraphics[width=38mm]{joonised/RaTingimus6.eps}$	x =0	θ = 0
	x =0	θ^' = 0	T_t = GI_tθ^' = 0
	x = l	θ = 0
	x = l	θ^' = 0	T_t = GI_tθ^' = 0