3.1.3 Murtud teljega -tala arvutus

Näide 3.3 ( $\Pi$ -tala arvutus ülekandevõrranditega). Koostada joonisel 3.13 kujutatud murtud teljega tala vertikaalse siirde $ w$

, paindenurga $\varphi_{y}$ , põikjõu $Q_{z}$ , paindemomendi $M_{y}$ , väändenurga $\theta_{x}$ , vabaväändemomendi ${T_{t}}$ , bimomendi $B_{\omega}$ ja kooldeväändemomendi $T_{\omega}$ epüürid.

**Joonis 3.13.** $\Pi$ -tala paine ja vääne
$\includegraphics[width=0.9\textwidth]{joonised/UTala1.eps}$

Andmed. Murtud teljega tala elementide pikkused: $l_{1} = 4{\,}\mathrm{m}$ , $l_{2} = 5{\,}\mathrm{m}$ ja $l_{3} = 4{\,}\mathrm{m}$ . Tala teine ava on ekstsentriliselt koormatud ühtlase lauskoormusega $q_{z} = 1.0{\,}\mathrm{kN/ m}$ . Vertikaalse lauskoormuse $q_{z}$ ekstsentrilisus $e = 1.0{\,}\mathrm{cm}$ . Varraste $ 1$ ja $ 3$ ristlõigeteks on valitud I-profiil nr 60a ning varda 2 ristlõikeks I-profiil nr 60b [Bõt62, lk 435]. Ristlõike paindejäikused $\mathrm{(}EI_{1} = 1.7611\hspace*{-2pt}\times\hspace*{-3pt}10^{5}{\,}\mathrm{kN}\hspace*{-3pt}\cdot\hspace*{-3pt}\mathrm{m^{2}}$ , $EI_{2} = 1.9989\hspace*{-2pt}\times\hspace*{-3pt}10^{5}{\,}\mathrm{kN}\hspace*{-3pt}\cdot\hspace*{-3pt}\mathrm{m^{2}}\mathrm{)}$ , kooldejäikused $\mathrm{(}$ $E\hspace*{1pt}I_{\omega\, 1}$ $= 2.8348\hspace*{-2pt}\times\hspace*{-3pt}10^{5}{\,}\mathrm{kN}\hspace*{-2pt}\cdot\hspace*{-2pt}\mathrm{m^{4}}$ , $E\hspace*{1pt}I_{\omega\, 2}$ $= 2.9254\hspace*{-2pt}\times\hspace*{-3pt}10^{5}{\,}\mathrm{kN}\hspace*{-2pt}\cdot\hspace*{-2pt}\mathrm{m^{4}}\mathrm{)}$ , vabaväändejäikused $\mathrm{(}$ ${GI_{t\, 1}}$ $= 1.5640\hspace*{-2pt}\times\hspace*{-3pt}10^{5}{\,}\mathrm{kN}\hspace*{-2pt}\cdot\hspace*{-2pt}\mathrm{m^{2}}$ , ${GI_{t\, 2}}$ $= 1.7753\hspace*{-2pt}\times\hspace*{-3pt}10^{5}{\,}\mathrm{kN}\hspace*{-2pt}\cdot\hspace*{-2pt}\mathrm{m^{2}}\mathrm{)}$ ning kooldekarakteristikud $\mathrm{(}$ $\kappa_{1}$ $= \sqrt{GI_{t\, 1}/E\hspace*{1pt}I_{\omega\, 1}} = \sqrt{1.5640\hspace*{-2pt}\... ....8348\hspace*{-2pt}\times\hspace*{-3pt}10^{13}} = 0.0074278{\,}\mathrm{cm^{-1}}$ , $\kappa_{2}$ $= \sqrt{GI_{t\, 2}/E\hspace*{1pt}I_{\omega\, 2}} = \sqrt{1.7753\hspace*{-2pt}\... ...ace*{-2pt}\times\hspace*{-3pt}10^{13}} = 0.007790{\,}\mathrm{cm^{-1}}\mathrm{)}$ on konstantsed.

Lahendus. Kanname ühtlaselt jaotatud põikkoormuse $q_{z}$ (jn 1.21 ja tabel 1.1) elastsele teljele . Vaatleme kahte koormusjuhtu (jn 3.14), kus elastsel teljel on ühtlaselt jaotatud väändemoment $m_{x} = 10{\,}\mathrm{(}\mathrm{N}\hspace*{-2pt}\cdot\hspace*{-2pt}\mathrm{cm}\mathrm{)}/\mathrm{cm}$ ja ühtlaselt jaotatud põikkoormus $q_{z} = 10{\,}\mathrm{N/ cm}$ .

Rajaväärtuste arvutamiseks kasutame nagu EST-meetodi [Lah97a], [Lah14] puhulgi hõredat võrrandisüsteemi ^3.25

$\displaystyle \mathbf{spA}\bm{\cdot}\mathbf{Z} = \mathbf{B}$

(3.26)

kus $\mathbf{{Z}}$ on võrrandisüsteemi tundmatute vektor

$\displaystyle \mathbf{{Z}} = \left[\begin{array}{c} \mathbf{Z^{\left( 1\right)}... ...^{\left( 3\right)}_{a}} \\ \mathbf{Z^{\left( 3\right)}_{b}} \end{array}\right]$

(3.27)

mille elementideks on siirded, paindenurgad, põikjõud, paindemomendid, väändenurgad ning väändemomendid varraste $ 1$

alguses ning lõpus.

**Joonis 3.14.** $\Pi$ -tala paine ja vääne. Muutujad
$\includegraphics[width=0.99\textwidth]{joonised/UtalaMuutujad.eps}$

Muutuja $Z\left(i,1\right)$ indeks (i=1, 2, 3, $\ldots$ , 48) on toodud joonisel 3.14.

$\displaystyle \mathbf{Z^{\left( 1\right)}_{a}} = \left[\begin{array}{c} w_{A} \... ...\right) \\ Z\left(15,1\right) \\ Z\left(16,1\right) \end{array}\right] \qquad$

(3.28)

$\displaystyle \mathbf{Z^{\left( 2\right)}_{a}} = \left[\begin{array}{c} w_{A} \... ...\right) \\ Z\left(31,1\right) \\ Z\left(32,1\right) \end{array}\right] \qquad$

(3.29)

$\displaystyle \mathbf{Z^{\left( 3\right)}_{a}} = \left[\begin{array}{c} w_{A} \... ...\right) \\ Z\left(47,1\right) \\ Z\left(48,1\right) \end{array}\right] \qquad$

(3.30)

Põhivõrrandites ^3.26 (2.84)

$\displaystyle \mathbf{\widehat{UI}}_{8\times16}\cdot\mathbf{\widehat{Z}} = \mathbf{-\stackrel{\rm\circ}{Z}}$

(3.31)

sisalduva laiendatud ülekandemaatriksi $\mathbf{\widehat{UI}}_{8\times 16} \equiv \boldsymbol{\left( U_{8\times8}\mid -I_{8\times8}\right)}$ (C.13) arvutamiseks saab kasutada GNU Octave'i funktsiooni yspTVmI.m.

Võrrandisüsteemis (3.31) on tundmatuid poole rohkem kui võrrandeid. Kanname need võrrandid võrrandisüsteemi (3.26) (vt väljavõte programmist 3.8).

Väljavõte programmist 3.8 ( Naide4_6U.m )

            # Esimese tala hõreda laiendatud ülekandemaatriksi arvutus
spvF=yspTVmI(baasi0,l1,l1,GAr,EI,GIt,EIw);
IIv=1;
IJv=1;
            # sisestab ülekandemaatriksi võrrandisüsteemi spA*Z=Bvb
spA=spInsertBtoA(spA,IIv,IJv,spvF); 
            # võrrandisüsteemi vabaliige Bvb on eelnevalt nullitud
            # Teise tala hõreda laiendatud ülekandemaatriksi arvutus
spvF=yspTVmI(baasi0,l2,l2,GAr,EI,GIt,EIw);
#vB2a=yzTVqz(baasi0,l2,0.0,qz,EI) # koormusvektori arvutus
vB2b=yzTVmx(baasi0,l2,l2,0.0,mx,GIt,EIw) # koormusvektori arvutus
#vB2=vB2a+vB2b
vB2=vB2b
krda=2;
IIv=krda*8-7;
IJv=krda*16-15; 
            # sisestab ülekandemaatriksi võrrandisüsteemi spA*Z=Bvb
spA=spInsertBtoA(spA,IIv,IJv,spvF); 
            # sisestab koormusvektori võrrandisüsteemi vabaliikmesse Bvb
Bvb=InsertBtoA(Bvb,NNK,1,IIv,1,vB2,8,1);
            # Kolmanda tala hõreda laiendatud ülekandemaatriksi arvutus
spvF=yspTVmI(baasi0,l1,l1,GAr,EI,GIt,EIw);
krda=3;
IIv=krda*8-7;
IJv=krda*16-15; 
            # sisestab ülekandemaatriksi võrrandisüsteemi spA*Z=Bvb
spA=spInsertBtoA(spA,IIv,IJv,spvF); 
            # võrrandisüsteemi vabaliige Bvb on eelnevalt nullitud

Võrrandisüsteemis (3.26) peab olema võrrandeid ja tundmatuid ühepalju. Võrrandite arv peab ühtima maatriksi $\mathbf{spA}$ astakuga. Puuduvad sõltumatud võrrandid saame kinemaatilistest ja staatilistest rajatingimustest. Varrassüsteemi elemente ühendavad sidemed võib jagada välis- ja sisesidemeteks [Jür85, lk 8-9]. ^3.27 Reaktsioonid jagatakse välimisteks ja sisemisteks. ^3.28 Sisemiste reaktsioonide summa võrdub nulliga. Vaadeldes varrassüsteemi kui tervikut, võib sisemisi reaktsioone nimetada ka kontaktjõududeks. ^3.29

Edasi

-: püstitame rajatingimused;
-: arvutame algparameetrid;
-: arvutame väändenurgad ja väändemomendid;
-: koostame sisejõudude epüürid.

Rajatingimuste püstitus. Väliste rajatingimuste seadmisel tuleb arvestada energiateoreemi ^3.30 (B.8). Kui avaldistes $w \Leftrightarrow {Q_{z}}$ , ${\varphi}\Leftrightarrow M_{y}$ , ${\theta}\Leftrightarrow T_{sum}$ , ${\theta^{\prime}}\Leftrightarrow {B_{\omega}}$ üks pool (siire $ w$ , paindenurk $\varphi$ , pöördenurk $\theta$ , suhteline väändenurk ${\theta^{\prime}}$ ) on antud, siis teine pool (põikjõud $Q_{z}$ , paindemoment $M_{y}$ , koguväändemoment $T_{sum}$ , bimoment $B_{\omega}$ ) on tundmatu.

Talal on sõlmedes $ 1$ ja $ 3$ jäigad toed, mis ei võimalda pööret ega kooldumist (vt tabel 1.2). Tähistame vabaväändejäikuste suhted järgmiselt: $ GI12 = GIt1/GIt2$ ja $ GI21 = GIt2/GIt1$ .

$\begin{displaymath}\begin{array}{lclclcl} Z\left(1,1\right) & = & {w^{\left(1\ri... ...quiv & {\theta^{ \prime\left(3\right)}_{L}} & = & 0 \end{array}\end{displaymath}$

(3.32)

Sisemistest rajatingimustest vaatleme pidevustingimusi sõlmedes $ 2$ ja $ 3$ . Varraste $ 1$ ja $ 2$ ning $ 2$ ja $ 3$ siirded ja kooldumus ^3.31 on võrdsed.

$\begin{displaymath}\begin{array}{lclcl} Z\left(9,1\right) - Z\left(17,1\right) &... ...t)}_{L}} - {\theta^{ \prime\left(3\right)}_{A}} = 0 \end{array}\end{displaymath}$

(3.33)

Painde- ja väändenurkade ( $\varphi_{y}$ , $\theta_{x}$ ) puhul peame arvestama, et varda x-telg on murtud (telgede pööre nurga $-\pi /2$ võrra ümber z-telje, vt avaldis (D.17)).

$\begin{displaymath}\begin{array}{lclcl} Z\left(21,1\right) + Z\left(10,1\right) ... ...)}_{\, A} - \theta^{\left( 2\right)}_{\, L} & = & 0 \end{array}\end{displaymath}$

(3.34)

Sisemistest rajatingimustest vaatleme sõlmede $ 2$

tasakaalutingimusi. Painde- ja väändemomentide ( $M_{y}$ ja $T_{sum{\,}x}$ ) puhul arvestame, et varda x-telg on murtud (telgede pööre nurga $-\pi /2$ võrra ümber z-telje, vt avaldis (D.17)).

$\begin{displaymath}\begin{array}{lclcl} Z\left(19,1\right) + Z\left(11,1\right) ... ...,}L}} + {B^{\left( 3\right)}_{\omega{\,}A}} & = & 0 \end{array}\end{displaymath}$

(3.35)

Koostatud on 24 rajatingimuse võrrandit. Sisestame need võrrandisüsteemi (3.26) (vt väljavõte programmist 3.9). Võrrandisüsteemi astak võrdub tundmatute arvuga. Järelikult on sisestatud võrrandid lineaarselt sõltumatud.

Väljavõte programmist 3.9 ( Naide4_6U.m )

########## Rajatingimused   
#  sõlm 1
spA=spSisestaArv(spA,25,1,1);  # siire w
spA=spSisestaArv(spA,26,2,1);  # pööre fi
spA=spSisestaArv(spA,27,5,1);  # $theta_A$ - väändenurk
spA=spSisestaArv(spA,28,6,1);  # $T_tA$ ($theta^{\prime}$) 
#  sõlm 2
# pidevus
spA=spSisestaArv(spA,29,9,1);   # siire w
spA=spSisestaArv(spA,29,17,-1);
spA=spSisestaArv(spA,30,10,1);  # pööre fi
spA=spSisestaArv(spA,30,21,1);
spA=spSisestaArv(spA,31,13,1);  # väändenurk
spA=spSisestaArv(spA,31,18,-1);
spA=spSisestaArv(spA,32,14,1);  # $T_t$ ($theta^{\prime}$)  
spA=spSisestaArv(spA,32,22,1)*GIt1/GIt2;
# tasakaal
spA=spSisestaArv(spA,33,11,1);  # Q
spA=spSisestaArv(spA,33,19,1);
spA=spSisestaArv(spA,34,12,-1); # M
spA=spSisestaArv(spA,34,22,1);
spA=spSisestaArv(spA,34,24,1);
spA=spSisestaArv(spA,35,20,1);  # M
spA=spSisestaArv(spA,35,14,1);
spA=spSisestaArv(spA,35,16,1);
spA=spSisestaArv(spA,36,15,1);  # B
spA=spSisestaArv(spA,36,23,1); 
#  sõlm 3
# pidevus
spA=spSisestaArv(spA,37,25,1);  # w
spA=spSisestaArv(spA,37,33,-1)
spA=spSisestaArv(spA,38,26,1);  # fi
spA=spSisestaArv(spA,38,37,1);
spA=spSisestaArv(spA,39,29,1);  # väändenurk  
spA=spSisestaArv(spA,39,34,-1);
spA=spSisestaArv(spA,40,30,1);  # $T_t$ ($theta^{\prime}$) 
spA=spSisestaArv(spA,40,38,1)*GIt2/GIt1;
# tasakaal
spA=spSisestaArv(spA,41,27,1);  # Q
spA=spSisestaArv(spA,41,35,1);
spA=spSisestaArv(spA,42,28,-1); # M
spA=spSisestaArv(spA,42,38,1);
spA=spSisestaArv(spA,42,40,1);
spA=spSisestaArv(spA,43,36,1);  # M
spA=spSisestaArv(spA,43,30,1)
spA=spSisestaArv(spA,43,32,1);
spA=spSisestaArv(spA,44,31,1);  # B
spA=spSisestaArv(spA,44,39,1);
#  sõlm 4
spA=spSisestaArv(spA,45,41,1);  # w
spA=spSisestaArv(spA,46,42,-1); # pööre fi
spA=spSisestaArv(spA,47,45,1);  # väändenurk
spA=spSisestaArv(spA,48,46,1);  # $T_t$ ($theta^{\prime}$)   
#
spA_rank = sprank(spA) # võrrandisüsteemi astak

Sisestatud võrrandite arvu ja astakut saab kontrollida arvutuspäeviku väljavõttest 3.10.

Väljavõte arvutuspäevikust 3.10 ( Naide4_6U.m )

Pärast põhivõrrandite sisestamist on võrrandisüsteemis 
spA_rida =  24
spA_veergu =  48
Pärast toel A toetingimuste lisamist on võrrandisüsteemis 
spA_rida =  28
spA_veergu =  48
Pärast sõlmes D pidevusvõrrandite lisamist on võrrandisüsteemis 
spA_rida =  32
spA_veergu =  48
Pärast sõlmes D tasakaaluvõrrandite lisamist on võrrandisüsteemis
spA_rida =  36
spA_veergu =  48
Pärast sõlmes E pidevusvõrrandite lisamist on võrrandisüsteemis  
spA_rida =  40
spA_veergu =  48
Pärast sõlmes E tasakaaluvõrrandite lisamist on võrrandisüsteemis   
spA_rida =  44
spA_veergu =  48
Pärast toel B toetingimuste lisamist on võrrandisüsteemis
spA_rida =  48
spA_veergu =  48
 
spA_rank =  48

Algparameetrite arvutus. Rajaväärtuste leidmisel korrutasime siirded, paindenurgad ja väändenurgad skaleerimisteguriga: $ baasi0 = 1.0e+10$ . Skaleerimata algparameetrite saamiseks tuleb vastavad suurused jagada skaleerimisteguriga. Talade 1, 2 ja 3 skaleerimata algparameetrid on toodud arvutuspäeviku väljavõttes 3.11.

Väljavõte arvutuspäevikust 3.11 ( Naide4_6U.m )

 Algparameetrid - AP1          AP2            AP3 
     w -     0.0000e+00     1.1357e-04     1.1357e-04
    fi -     0.0000e+00     4.9646e-08     5.6784e-07
     Q -    -6.8039e-15    -6.8039e-15    -6.8039e-15
     M -     2.5000e+03     3.6090e+02     2.5000e+03
 theta -     0.0000e+00     5.6784e-07     4.9646e-08
    Tt -     0.0000e+00    -4.6686e+02     4.6686e+02
     B -    -3.7392e+04     1.0704e+05     1.0704e+05
    Tw -     3.6090e+02    -2.0331e+03    -8.2776e+02

3. Siirete, nurkade ja momentide arvutus. Siirete, painde- ja väändenurkade, põikjõudude, painde- ja väändemomentide leidmiseks tala ristlõigetes kasutame ülekandevõrrandit (C.1)

$\displaystyle \mathbf{Z_{L}\left( x\right) } = \mathbf{U}\bm{\cdot}\mathbf{Z_{A}} + \mathbf{\stackrel{\rm\circ}{Z}}$

(3.36)

kus $\mathbf{Z_{A}}$ on tala algparameetrid (vt arvutuspäeviku väljavõte 3.11). Ülekandemaatriksi $\mathbf{U}$ leiame GNU Octave'i funktsiooniga ylTVlin.m ning koormusvektori $\mathrm{\mathbf{\overset{\rm\circ}{Z}_{}}}$ funktsioonidega yzTVmx.m ja yzTVqz.m (vt väljavõte programmist 3.10).

Väljavõte programmist 3.10 ( Naide4_6U.m )

AP=AP1;
baasi0=1.0
Nmitmeks=4
xx=0.0;
xsamm=0.0;
xsamm=l1/Nmitmeks;
for ij=1:Nmitmeks+1  # 5 - displacements and forces at x=0.0   
Xloikes(ij,1)=xx;
   vvF=ylTVlin(baasi0,l1,xx,GAr,EI1,GIt1,EIw1);
 Fvv(1:8,ij)=vvF*AP; 
 Fvv(9,ij)=Fvv(6,ij)+Fvv(8,ij);
xx=xx+xsamm;
endfor 
AP=AP2;
baasi0=1.0
Nmitmeks=4
xx=0.0;
xsamm=0.0;
xsamm=l2/Nmitmeks;
for ij=1:Nmitmeks+1  # 5 - displacements and forces at x=0.0   
Xloikes(ij,1)=xx;
   vvF=ylTVlin(baasi0,l2,xx,GAr,EI2,GIt2,EIw2); 
vB2b=yzTVmx(baasi0,l2,xx,0.0,mx,GIt2,EIw2); # koormusvektori arvutus
vB2=vB2b;  
   Fvv(1:8,ij)=vvF*AP+vB2;
   Fvv(9,ij)=Fvv(6,ij)+Fvv(8,ij);
xx=xx+xsamm;
endfor 
AP=AP3;
baasi0=1.0
Nmitmeks=4
xx=0.0;
xsamm=0.0;
xsamm=l3/Nmitmeks;
for ij=1:Nmitmeks+1  # 5 - displacements and forces at x=0.0   
Xloikes(ij,1)=xx;
   vvF=ylTVlin(baasi0,l3,xx,GAr,EI1,GIt1,EIw1); 
  Fvv(1:8,ij)=vvF*AP; 
  Fvv(9,ij)=Fvv(6,ij)+Fvv(8,ij);
xx=xx+xsamm;
endfor

Arvutustulemused on esitatud arvutuspäeviku väljavõttes 3.12.

Väljavõte arvutuspäevikust 3.12 ( Naide4_6U.m )

baasi0 =  1
Nmitmeks =  4
k =  0.007427
      x=       0.00       100.00        200.00       300.00       400.00
     w -    0.000e+00    7.098e-06    2.839e-05    6.388e-05    1.136e-04
    fi -    0.000e+00   -1.420e-07   -2.839e-07   -4.259e-07   -5.678e-07
     Q -    6.804e-15    6.804e-15    6.804e-15    6.804e-15    6.804e-15
     M -   -2.500e+03   -2.500e+03   -2.500e+03   -2.500e+03   -2.500e+03
 theta -    0.000e+00   -4.723e-06   -1.265e-05   -1.504e-05    4.965e-08
    Tt -    0.000e+00   -1.216e+02   -1.049e+02    5.958e+01    4.669e+02
     B -    3.739e+04    8.687e+03   -1.500e+04   -4.735e+04   -1.070e+05
    Tw -   -3.609e+02   -2.393e+02   -2.560e+02   -4.205e+02   -8.278e+02
  Tsum -   -3.609e+02   -3.609e+02   -3.609e+02   -3.609e+02   -3.609e+02
   
baasi0 =  1
Nmitmeks =  4
k =  0.007790
      x=       0.00       125.00        250.00       375.00       500.00
     w -    1.136e-04    1.089e-04    1.074e-04    1.089e-04    1.136e-04
    fi -    4.965e-08    2.482e-08    1.105e-21   -2.482e-08   -4.965e-08
     Q -    6.804e-15    6.804e-15    6.804e-15    6.804e-15    6.804e-15
     M -   -3.609e+02   -3.609e+02   -3.609e+02   -3.609e+02   -3.609e+02
 theta -    5.678e-07    4.423e-05    6.628e-05    4.423e-05    5.678e-07
    Tt -    4.669e+02    5.780e+02    3.638e-12   -5.780e+02   -4.669e+02
     B -   -1.070e+05    4.982e+04    8.879e+04    4.982e+04   -1.070e+05
    Tw -    2.033e+03    6.720e+02    0.000e+00   -6.720e+02   -2.033e+03
  Tsum -    2.500e+03    1.250e+03    3.638e-12   -1.250e+03   -2.500e+03

    
baasi0 =  1
Nmitmeks =  4

k =  0.007427
      x=       0.00       100.00        200.00       300.00       400.00
     w -    1.136e-04    6.388e-05    2.839e-05    7.098e-06    2.711e-20
    fi -    5.678e-07    4.259e-07    2.839e-07    1.420e-07    0.000e+00
     Q -    6.804e-15    6.804e-15    6.804e-15    6.804e-15    6.804e-15
     M -   -2.500e+03   -2.500e+03   -2.500e+03   -2.500e+03   -2.500e+03
 theta -    4.965e-08   -1.504e-05   -1.265e-05   -4.723e-06    1.084e-19
    Tt -   -4.669e+02   -5.958e+01    1.049e+02    1.216e+02   -1.819e-12
     B -   -1.070e+05   -4.735e+04   -1.500e+04    8.687e+03    3.739e+04
    Tw -    8.278e+02    4.205e+02    2.560e+02    2.393e+02    3.609e+02
  Tsum -    3.609e+02    3.609e+02    3.609e+02    3.609e+02    3.609e+02

Leitud tulemuste põhjal koostame $\Pi$ -tala epüürid koormusest $m_{x}$ (jn 3.15, b-j).

**Joonis 3.15.** L-tala koormusega $q_{z}$ . Epüürid b-f

$\includegraphics[width=135mm]{joonised/Naide46Epyyrid.eps}$

(a) Koormus $m_{x}=10.0{\,}\mathrm{(}\mathrm{N}\hspace{-2pt}\cdot\hspace{-2pt}\mathrm{cm}\mathrm{)}/\mathrm{cm}$ (vt tabel 1.1)

$\includegraphics[width=121mm]{joonised/Naide46w.eps}$

(b) Siire

$\includegraphics[width=121mm]{joonised/Naide46fi.eps}$

(c) Paindenurk $\varphi$

$\begin{overpic}[width=121mm]{joonised/Naide46theta.eps} \put(32.0,9.6){\centerin... ...put(40.6,13.0){\begin{footnotesize}vt $\varphi$\end{footnotesize}} \end{overpic}$

(d) Väändenurk $\theta$

$\includegraphics[width=121mm]{joonised/Naide46Qz.eps}$

(e) Põikjõud $Q_{z}$

$\includegraphics[width=121mm]{joonised/Naide46My.eps}$

(f) Paindemoment $M_{y}$

— — —

**Joonis 3.15.** L-tala koormusega $q_{z}$ . Epüürid g-j

$\includegraphics[width=121mm]{joonised/Naide46Tt.eps}$

(g) Vabaväändemoment $T_{t}$

$\includegraphics[width=121mm]{joonised/Naide46Bw.eps}$

(h) Bimoment $B_{\omega}$

$\includegraphics[width=121mm]{joonised/Naide46Tw.eps}$

(i) Kooldeväändemoment $T_{\omega}$

$\includegraphics[width=121mm]{joonised/Naide46Tsum.eps}$

(j) Koguväändemoment $T_{sum}$

EST-meetodiga ja raamatus [Bõt62] toodud valemite abil arvutatud $\Pi$ -tala paindemomendid ja bimomendid on esitatud tabelites 3.8, 3.9 ja 3.10.

Raamatus [Bõt62, lk 353 ja 386] on toodud näited $\Pi$ -kujulise raami arvutamiseks jõu- ja deformatsioonimeetodiga. Neis näidetes on varraste $ 1$ ja $ 3$ (jn 3.13 $\overline{AD}$ , $\overline{BE}$ ) kooldejäikus $i_{1\omega}=EI_{1\omega}/l_{1}=1.0$ . Leitud paindemomendid ja bimomendid on esitatud tabelite 3.8, 3.9 ja 3.10 veerus 'Def-meetod'.

Võrdluseks EST-meetodil saadud tulemustega võtsime [Bõt62] valemites varraste $ 1$ ja $ 3$ kooldejäikuseks $i_{1\omega}=EI_{1\omega}/l_{1}=2.8348\hspace*{-2pt}\times\hspace*{-3pt}10^{13}/400 = 7.0870{\,}\hspace*{-2pt}\times\hspace*{-3pt}10^{10}$ ( $\kappa_{1} = 0.007427{\,}{\,}1/\mathrm{cm}$ ). Arvutiprogrammidega Naide4_6Udef.m ja Naide4_6Uforce.m arvutatud paindemomendid ja bimomendid on tabelite 3.8, 3.9 ja 3.10 veerus 'Def-meetod+'.

Arvude erinevus veergudes 'Def-meetod+' ja 'EST-meetod' on välja toodud tabelite 3.8, 3.9 ja 3.10 all.

**Tabel** **3.8.** Π-tala koormusega m_x. Tulemuste võrdlus (1)
x [ cm]	Z(x)	Def.-meetod [Btš62]	Def.-meetod+ [Btš62] ^3.32	Mõõtühik	EST-meetod	Mõõtühik
0.0	w			cm	0.000×10⁰	cm
	φ			rad	0.000×10⁰	rad
	Q_z			kG	6.804×10^–15	N
	M_y	–2.5000×10³	–2.5000×10³	N·cm	–2.500×10³	N·cm
	θ			rad	0.000×10⁰	rad
	T_t			kG·m	0.000×10⁰	N·cm
	B_ω	–1.2637×10^–6	–3.5662×10⁴	kG·m²	3.739×10⁴	N·cm²
	T_ω			kG·m	–3.609×10²	N·cm
	T_sum			kG·m	–3.609×10²	N·cm
200	w			cm	2.839×10^–5	cm
	φ			rad	–2.839×10^–7	rad
	Q_z			kG	6.804×10^–15	N
	M_y			kG·m	–2.500×10³	N·cm
	θ			rad	–1.265×10^–5	rad
	T_t			kG·m	–1.049×10²	N·cm
	B_ω			kG·m²	–1.500×10⁴	N·cm²
	T_ω			kG·m	–2.560×10²	N·cm
	T_sum			kG·m	–3.609×10²	N·cm
400 – ε	w			cm	1.136×10^–4	cm
	φ			rad	–5.678×10^–7	rad
	Q_z			kG	6.804×10^–15	N
	M_y	2.5000×10³	2.5000×10³ ^3.33	N·cm	–2.500×10³	N·cm
	θ			rad	4.965×10^–8	rad
	T_t			kG·m	4.669×10²	N·cm
	B_ω	3.6140×10^–6	1.0199×10⁵	N·cm²	–1.070×10⁵	N·cm²
	T_ω			kG·m	–8.278×10²	N·cm
	T_sum			kG·m	–3.609×10²	N·cm

$\begin{equation*}\begin{align*}B_{AD} &= 3.5662\hspace*{-2pt}\times\hspace*{-3pt... ...t}\times\hspace*{-3pt}10^{5} &= 4.68{\,}\% \nonumber \end{align*}\end{equation*}$

**Tabel** **3.9.** Π-tala koormusega m_x. Tulemuste võrdlus (2)
x [ cm]	Z(x)	Def.-meetod [Btš62]	Def.-meetod+ [Btš62] ^3.34	Mõõtühik	EST-meetod	Mõõtühik
400 + ε	w			cm	1.136×10^–4	cm
	φ			rad	4.965×10^–8	rad
	Q_z			kG	6.804×10^–15	N
	M_y	–1.2194×10^–8	–3.4412×10²	N·cm	–3.609×10²	N·cm
	θ			rad	5.678×10^–7	rad
	T_t			kG·m	4.669×10²	N·cm
	B_ω	–3.6140×10^–6	–1.0199×10⁵	N·cm²	–1.070×10⁵	N·cm²
	T_ω			kG·m	2.033×10³	N·cm
	T_sum			kG·m	2.500×10³	N·cm
650	w			cm	1.074×10^–4	cm
	φ			rad	–1.105×10^–21	rad
	Q_z			kG	6.804×10^–15	N
	M_y			kG·m	–3.609×10²	N·cm
	θ			rad	6.628×10^–5	rad
	T_t			kG·m	3.638×10^–12	N·cm
	B_ω			kG·m²	8.879×10⁴	N·cm²
	T_ω			kG·m	0.000×10⁰	N·cm
	T_sum			kG·m	3.638×10^–12	N·cm
900 – ε	w			cm	1.136×10^–4	cm
	φ			rad	–4.965×10^–8	rad
	Q_z			kG	6.804×10^–15	N
	M_y	1.2194×10^–8	3.4412×10²	N·cm	–3.609×10²	N·cm
	θ			rad	5.678×10^–7	rad
	T_t			kG·m	–4.669×10²	N·cm
	B_ω	3.6140×10^–6	1.0199×10⁵	N·cm²	–1.070×10⁵	N·cm²
	T_ω			kG·m	–2.033×10³	N·cm
	T_sum			kG·m	–2.500×10³	N·cm

$\begin{equation*}\begin{align*}&M_{DE} &= -3.4412\hspace*{-2pt}\times\hspace*{-3... ...t}\times\hspace*{-3pt}10^{5} &= 4.68{\,}\% \nonumber \end{align*}\end{equation*}$

**Tabel** **3.10.** Π-tala koormusega m_x. Tulemuste võrdlus (3)
x [ cm]	Z(x)	Def.-meetod [Btš62]	Def.-meetod+ [Btš62] ^3.35	Mõõtühik	EST-meetod	Mõõtühik
900 + ε	w			cm	1.136×10^–4	cm
	φ			rad	5.678×10^–7	rad
	Q_z			kG	6.804×10^–15	N
	M_y	2.5000×10³	2.5000×10³	N·cm	–2.500×10³	N·cm
	θ			rad	4.965×10^–8	rad
	T_t			kG·m	–4.669×10²	N·cm
	B_ω	–3.6140×10^–6	–1.0199×10⁵	N·cm²	–1.070×10⁵	N·cm²
	T_ω			kG·m	8.278×10²	N·cm
	T_sum			kG·m	3.609×10²	N·cm
1100	w			cm	2.839×10^–5	cm
	φ			rad	2.839×10^–7	rad
	Q_z			kG	6.804×10^–15	N
	M_y			kG·m	–2.500×10³	N·cm
	θ			rad	–1.265×10^–5	rad
	T_t			kG·m	1.049×10²	N·cm
	B_ω			kG·m²	–1.500×10⁴	N·cm²
	T_ω			kG·m	2.560×10²	N·cm
	T_sum			kG·m	3.609×10²	N·cm
1300	w			cm	2.711×10^–20	cm
	φ			rad	0.000 ×10⁰	rad
	Q_z			kG	6.804×10^–15	N
	M_y	–2.5000×10³	–2.5000×10³	N·cm	–2.500×10³	N·cm
	θ			rad	1.084×10^–19	rad
	T_t			kG·m	–1.819×10^–12	N·cm
	B_ω	1.2637×10^–6	3.5662×10⁴	N·cm²	3.739×10⁴	N·cm²
	T_ω			kG·m	3.609×10²	N·cm
	T_sum			kG·m	3.609×10²	N·cm

$\begin{equation*}\begin{align*}B_{EB} &= -1.0199\hspace*{-2pt}\times\hspace*{-3p... ...times\hspace*{-3pt}10^{4} &= 4.62{\,}\% \\ \nonumber \end{align*}\end{equation*}$

Joonisel 3.16 on hõreda maatriksi muster (hõreda maatriksi spA(48,48) nullist erinevate elementide asukohad).

**Joonis 3.16.** $\Pi$ -tala hõreda maatriksi spA muster
$\includegraphics[width=0.85\textwidth]{joonised/spESTNaide4_6U_sparse_matrix.eps}$