D.2 Koordinaatide teisendus

Koordinaatide teisendusvalemite tuletamiseks vaatleme joonist D.1. Olgu koordinaadid xyz üldkoordinaadid ja $x^{\ast}y^{\ast}z^{\ast}$ kohalikud koordinaadid. Vaatleme veel parema käe kolmikuid $\mathbf{i, j, k}$ ja $\mathbf{i^{\ast}, j^{\ast}, k^{\ast}}$. Need on ühikvektorite kolmikud, mis määravad koordinaattelgede suuna. Joonisel D.1 on ühikvektorid $\mathbf{j}$ ja $\mathbf{j^{\ast}}$ suunatud vaataja poole. Vektori ${\stackrel{\rm\rightarrow}{F}}$ projektsioonid telgedele x, z on $F_{x}$, $F_{z}$, telgedele $x^{\ast}, z^{\ast}$ aga $F^{\ast}_{x}$, $F^{\ast}_{z}$. Seega

$${\stackrel{\rm\rightarrow}{\mathbf{F}_{}}} = F_{x}\cdot {\stackre... ...cdot {\stackrel{\rm\rightarrow}{\mathbf{k}}} \end{array} \right. \vspace*{-6pt}$$ (D.1)

Joonis D.1. Koordinaatide teisendus

Korrutame avaldise (D.1) vektoritega $\stackrel{\rm\rightarrow}{\mathbf{i^{\ast}}}$ ja $\stackrel{\rm\rightarrow}{\mathbf{k^{\ast}}}$. Võtame arvesse, et risti olevate vektorite skalaarkorrutis (sisekorrutis) on null. Saame

$$\begin{array}{ccccccc} {\stackrel{\rm\rightarrow}{\mathbf{F}^... ...cdot {\stackrel{\rm\rightarrow}{\mathbf{k}^{\ast}}} \end{array}$$ (D.2)

Pöördseoste leidmiseks korrutame avaldist (D.1) vektoritega $\stackrel{\rm\rightarrow}{\mathbf{i}}$ ja $\stackrel{\rm\rightarrow}{\mathbf{k}}$:

$$\begin{array}{ccccccc} {\stackrel{\rm\rightarrow}{\mathbf{F}}... ...}}}\cdot {\stackrel{\rm\rightarrow}{\mathbf{k}^{}}} \end{array}$$ (D.3)

Ühikvektorite skalaarkorrutis võrdub nende positiivsete suundade vahelise nurga koosinusega:

$$\begin{array}{ccccccccc} {\stackrel{\rm\rightarrow}{\mathbf{i... ...arrow}{\mathbf{k}^{}}} & = & \cos\alpha_{zx^{\ast}} \end{array}$$ (D.4)

Telje $x^{\ast}$ suunakoosinused tähistame järgmiselt: $\cos\alpha_{xx^{\ast}}$ = $\cos\alpha$ ja $\cos\alpha_{zx^{\ast}}$ = $\cos\beta$ ($\cos\beta$ = $\cos \left(90\,^{\circ} + \alpha\right)$ = $- \sin\alpha$). Jooniselt D.1 näeme, et

$$\begin{array}{ccccccc} \cos\alpha_{xx^{\ast}} & = & \cos\alph... ...ad & \cos\alpha_{xz^{\ast}} & = & - \cos\beta \quad \end{array}$$ (D.5)

Suunakoosinused arvutame varda lõpu ja alguse koordinaatide $x_{L}$, $z_{L}$, $x_{A}$, $z_{A}$ (jn D.2) järgi:

$$\cos\alpha = \frac{x_{L} - x_{A}}{l}$$ (D.6)

$$\cos\beta = \frac{z_{L} - z_{A}}{l}$$ (D.7)

kus varda pikkus

$$l = \sqrt{\left(z_{L} - z_{A}\right)^{2} + \left(x_{L} - x_{A}\right)^{2}}$$ (D.8)

Nüüd avaldame koordinaatide teisenduse:

$$\left[\begin{array}{c} F^{\ast}_{x} \\ F^{\ast}_{z} \end{array} ... ... \end{array} \right] \left[\begin{array}{c} F_{x} \\ F_{z} \end{array} \right]$$ (D.9)

Joonis D.2. Varda suunakoosinused

Koordinaatide pöördteisendus:

$$\left[\begin{array}{c} F_{x} \\ F_{z} \end{array} \right] = \lef... ...right] \left[\begin{array}{c} F_{x}^{\ast} \\ F_{z}^{\ast} \end{array} \right]$$ (D.10)

Võrreldes koordinaatide teisendusmaatrikseid avaldistes (D.9) ja (D.10), näeme, et nendes on read ja veerud vahetatud, s.t ühe saab teisest transponeerimisel. Asendades $F_{x}$ ja $F_{z}$ võrrandis (D.9) nende avaldistega võrrandis (D.10), saame maatrikskorrutise

$$\left[\begin{array}{cc} \cos\alpha & \cos\beta \\ - \cos\beta & ... ...nd{array} \right] = \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right]$$ (D.11)

Siin annab maatriksi korrutamine tema transponeeritud kujuga ühikmaatriksi. Selliseid maatrikseid nimetatakse ortogonaalseteks. Ortogonaalse maatriksi pöördmaatriks võrdub tema transponeeritud kujuga (mõlemal juhul on korrutiseks ühikmaatriks).

Arvestades, et $\cos\beta$ = $\cos \left(90\,^{\circ} + \alpha\right)$ = $- \sin\alpha$, võime seosed (D.9) kirjutada kujul

$$\left[\begin{array}{c} F^{\ast}_{x} \\ F^{\ast}_{z} \end{array} ... ... \end{array} \right] \left[\begin{array}{c} F_{x} \\ F_{z} \end{array} \right]$$ (D.12)

ja pöördteisenduse

$$\left[\begin{array}{c} F_{x} \\ F_{z} \end{array} \right] = \lef... ...right] \left[\begin{array}{c} F^{\ast}_{x} \\ F^{\ast}_{z} \end{array} \right]$$ (D.13)

Koordinaatide teisendus pöördel nurga $\alpha$ võrra:
- ümber $z^{\ast}$-telje

$$\left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] = R_{z^{... ...] \left[\begin{array}{c} x^{\ast} \\ y^{\ast} \\ z^{\ast} \end{array} \right]$$ (D.14)

- ümber $x^{\ast}$-telje

$$\left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] = R_{x^{... ...] \left[\begin{array}{c} x^{\ast} \\ y^{\ast} \\ z^{\ast} \end{array} \right]$$ (D.15)

- ümber $y^{\ast}$-telje

$$\left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] = R_{y^{... ...] \left[\begin{array}{c} x^{\ast} \\ y^{\ast} \\ z^{\ast} \end{array} \right]$$ (D.16)

Näide D.1 (vektorite teisendus pöördel).   Olgu antud varda väändenurga vektor $\theta^{\left( 1\right)}_{x}$ ja paindenurga vektor $\varphi^{\left( 1\right)}_{y}$. Kohalike koordinaatide $x^{\ast}$, $y^{\ast}$ pöördel ümber $z^{\ast}$-telje nurga $-\pi /2$ võrra

$$\left[\begin{array}{c} \theta^{\left( 2\right)}_{x} \\ \varphi^{... ...\right)}_{x} \\ \varphi^{\left( 1\right)}_{y} \\ z^{\ast} \end{array} \right]$$ (D.17)

Siit saame

$$%\begin{array}{lcl} \theta^{\left( 2\right)}_{x} + \varphi^{\left( 1\right)}_{y} =$$ 0 (D.18)

$$\varphi^{\left( 2\right)}_{y} - \theta^{\left( 1\right)}_{x} =$$ 0 (D.19)

Avaldised (D.18) ja (D.19) selgitavad, kuidas tuleb pöörete vektorid kontakti panna.

Murdepunktis peavad olema tasakaalus koguväändemomendi vektor $T^{\left( 1\right)}_{sum{\,}x}$ ja paindemomendi vektor $M^{\left( 1\right)}_{y}$ ning vektorid $T^{\left( 2\right)}_{sum{\,}x}$ ja $M^{\left( 2\right)}_{y}$:

$$%\begin{array}{lcl} {T^{\left( 2\right)}_{sum{\,}x}} - M^{\left( 1\right)}_{y} =$$ 0 (D.20)

$$M^{\left( 2\right)}_{y} + {T^{\left( 1\right)}_{sum{\,}x}} =$$ 0 (D.21)

Võttes arvesse, et koguväändemoment $T_{sum}$ koosneb vabaväändemomendist $T_{t}$ ja kooldeväändemomendist $T_{\omega}$ ( $T_{sum} = T_{t} + T_{\omega}$), saame sõlme tasakaaluvõrranditeks

$$%\begin{array}{lcl} {T^{\left( 2\right)}_{t{\,}x}} + {T^{\left( 2\right)}_{\omega {\,}x}} - M^{\left( 1\right)}_{y} =$$ 0 (D.22)

$$M^{\left( 2\right)}_{y} + {T^{\left( 1\right)}_{t{\,}x}} + {T^{\left( 1\right)}_{\omega{\,}x}} =$$ 0 (D.23)