D.3 Jäiga keha pööre

Kinnispunkti ümber liikuva jäiga keha (jn D.3) asendi määramiseks kasutatakse Euleri nurki $\theta$, $\psi$ ja $\varphi$ [LR71]. Vaatleme üldist (globaalset) Cartesiuse ristkoordinaadistikku $X$, $Y$, $Z$ ja kohalikku (lokaalset) ristkoordinaadistikku $X^{\ast}$, $Y^{\ast}$, $Z^{\ast}$, mis on seotud jäiga kehaga. Tasandite $OXY$ ja $OX^{\ast}Y^{\ast}$ lõikejoont $OK$ nimetatakse sõlmjooneks. Positiivse suuna sõlmjoonel määrame nii, et pöördel $Z$-teljelt $Z^{\ast}$-teljele väiksemat nurka $\theta$ mööda tekiks parema käe teljestik.

Joonis D.3. Euleri nurgad

Euleri nurkade jaoks on kasutusele võetud erinimetused, mis on pärit astronoomiast. Nii nimetatakse nurka $\theta$ nutatsiooninurgaks, nurka $\psi$ pretsessiooninurgaks ja nurka $\varphi$ omapöördenurgaks. Analoogilised nimetused on ka telgedel, mille ümber nimetatud pöörded toimuvad: $Z$-telge nimetatakse pretsessiooniteljeks, sõlmjoont $OK$ nutatsiooniteljeks ja $Z^{\ast}$-telge omapöörlemisteljeks.

Joonis D.4. Pöördenurkade mittekonservatiivsus fikseeritud telgede suhtes

Lineaarses paindeteoorias vaadeldakse pöördenurki fikseeritud telgede suhtes. Näitame, et suurte (lõplike) pöördenurkade puhul ei kehti pöörete kommutatiivsus. Võrdleme joonisel D.4 näidatud pöördeid x- ja y-telje ümber. Joonisel D.4 a teeme pöörded $\varphi = 1/2\pi$ ja $\chi = 1/2\pi$ ümber y- ja x-telje, joonisel D.4 b pöörded $\chi = 1/2\pi$ ja $\varphi = 1/2\pi$ ümber x- ja y-telje. Pöörete algasendid on samad, lõppasendid aga erinevad, seega pöörded ümber fikseeritud telgede ei ole vahetatavad, kommutatiivsed [Arg82].

Joonis D.5. Momentide mittekonservatiivsus fikseeritud telgede suhtes

Edasi vaatleme jäika keha, millele mõjub moment y-telje suhtes (jn D.5 a). Pöördel $\varphi$ ümber y-telje teeb moment $M$ positiivset tööd $W_{\varphi} = \pi M$. Jäiga keha sama lõppasendi (jn D.5 b) saame pööretega $\chi$ ja $\psi$ ümber x- ja z-telje. Viimati vaadeldud pööretel moment $M$ tööd ei tee, s.t $W_{\chi \psi} = 0$. Nii sõltub töö fikseeritud telgede puhul tee (pöördenurkade) kujust ja on mittekonservatiivne [Zie77].