D.4 Kvaasi- ja semitangentsiaalsed momendid

Kvaasi-^7.1 ja semitangentsiaalse^7.2 momendi mõistet [Kre09, lk 59] kasutatakse lõplike pöörete puhul lõplike elementide meetodis [GS94], [YM86].

Kvaasitangentsiaalne moment
Vaatleme kvaasitangentsiaalse momendi rakendust (jn D.6 a). Võtame kasutusele jäiga jõuõla, mis on risti varda teljega. Jõuõla suuna määrb ühikvektora $l$. Rakendame varda ristlõikesse jõupaari $M_{o}\mathbf{{k}}$.

$$\mathbf{{M}}_{o} = \mathbf{{l}}\times M_{o}\mathbf{{k}} = M_{o}\mathbf{{m}}$$ (D.24)

kus ühikvektorid $\mathbf{{k}}$ ja $\mathbf{{m}}$ on risti.

Joonis D.6. Kvaasi- ja semitangentsiaalsed momendid

Rakendame varda otsa väikese pöörde $\vec{\varphi}$. Uueks jõuõlaks saab

$$\mathbf{{l}^{\ast}} = \mathbf{{l}} + \vec{\varphi}{\hspace*{2pt}\times\hspace*{2pt}}\mathbf{{l}}$$ (D.25)

ning uueks momendiks

$$\mathbf{{M}^{q}} = \mathbf{{l}}{\hspace*{2pt}\times\hspace*{2pt}}M_{o}\mathbf{{k}}$$ (D.26)

Momendi juurdekasv

$$\mathbf{{M}^{q}_{\Delta}} = \mathbf{{M}^{q}} - \mathbf{{M}_{o}} =... ...2pt}\times\hspace*{2pt}} \mathbf{{l}}\right){\times\hspace*{2pt}}\mathbf{{k}} =$$

$$= M_{o}\left(\vec{\varphi}\cdot\mathbf{{k}}\right) \mathbf{{l}}$$ (D.27)

Ülemine indeks $q$ osutab siin kvaasitangentsiaalsele momendile.

Semitangentsiaalne moment
Vaatleme semitangentsiaalse momendi rakendust (jn D.6 b), kus momendil on kaks teineteisega risti olevat jõuõlga. Rakendatav moment

$$\mathbf{{M}_{o}} = \mathbf{{l}}{\hspace*{2pt}\times\hspace*{2pt}}... ...space*{2pt}\times\hspace*{2pt}}\frac{1}{2}M_{o}\mathbf{{l}} = M_{o}\mathbf{{m}}$$ (D.28)

on sama suur kui kvaasitangentsiaalne moment (D.24).

Rakendame varda otsa pöörde $\vec{\varphi}$, jättes momendid $\frac{1}{2}M_{o}\mathbf{{l}}$ ja $\frac{1}{2}M_{o}\mathbf{{k}}$ konstantseks. Jõuõlg (vektor) $\mathbf{{k}}$ muutub nii nagu $\mathbf{{l}}$ (D.25):

$$\mathbf{{k}^{\ast}} = \mathbf{{k}} + \vec{\varphi}{\hspace*{2pt}\times\hspace*{2pt}} \mathbf{{k}}$$ (D.29)

Semitangentsiaalse momendi juurdekasv

$$\mathbf{{M}^{s}_{\Delta}} = \mathbf{{l}^{\ast}}{\hspace*{2pt}\tim... ...space*{2pt}\times\hspace*{2pt}}\frac{1}{2} M_{o}\mathbf{{l}} - \mathbf{{M}_{o}}$$ (D.30)

Asetades $\mathbf{{l}}$, $\mathbf{{k}}$ ja $\mathbf{{M}_{o}}$ avaldised (D.25), (D.29), (D.28) võrrandisse (D.30), saame

$$\mathbf{{M}^{s}_{\Delta}} = \frac{1}{2}M_{o}\left[\left(\vec{ \va... ...} = \frac{1}{2}\vec{\varphi}{\hspace*{2pt}\times\hspace*{2pt}} \mathbf{{M}_{o}}$$ (D.31)

Ülemine indeks $s$ osutab siin semitangentsiaalsele momendile.

Jälgiva momendi ^7.3 (ingl follower moment) juurdekasv

$$\mathbf{{M}^{f}_{\Delta}} = \vec{\varphi}{\hspace*{2pt}\times\hspace*{2pt}} \mathbf{{M}_{o}}$$ (D.32)

Semitangentsiaalset momenti võib vaadelda kui fikseeritud momendi ja jälgiva momendi keskmist väärtust [ABD79] (jn D.7).

Joonis D.7. Jälgiv ja semitangentsiaalne moment

Joonisel:

(b)

telgmoment $\mathbf{{M}}$ – moment ümber fikseeritud telje Lagrange'i koordinaatides;

(c)

jälgiv moment $\mathbf{{M}^{f}}$ – moment kaasaliikuvates Lagrange'i koordinaatides;

(d)

semitangentsiaalne moment $\mathbf{{M}^{s}}$ – momentide $\mathbf{{M}}$, $\mathbf{{M}^{f}}$ aritmeetiline keskmine:

$$\mathbf{{M}^{s}} = \frac{1}{2}\mathbf{{M}} + \mathbf{{M}^{f}}$$ (D.33)