D.5 Kvaasi- ja semitangentsiaalsed pöörded

Semitangentsiaalsetele momentidele (jn D.7) vastavaid pöördeid nimetatakse semitangentsiaalseteks (jn D.8). Semitangentsiaalne pööre on jälgiva pöörde ja telgpöörde (pööre ümber fikseeritud telje) aritmeetiline keskmine.

Semitangentsiaalse pöörde kommutatiivsus
Semitangentsiaalsete pöörete järjestuse kirjeldamiseks kasutame tähistust

$$\mathbf{T}\left(\mathbf{{\varphi}^{s}}\right) = \frac{1}{2}\left(\mathbf {{\varphi}} + \mathbf{{\varphi}^{f}}\right)$$ (D.34)

$$\mathbf{T}\left(\mathbf{{\chi}^{s}}\right) = \frac{1}{2}\left( \mathbf{{\chi}} + \mathbf{{\chi}^{f}}\right)$$ (D.35)

Pöörete järjestus joonisel D.9:

(a)

telgpöörded $\varphi = \frac{\pi}{2}$ $\Rightarrow$ $\chi = \frac{\pi}{2}$;

(b)

jälgivad pöörded $\varphi = \frac{\pi}{2}$ $\Rightarrow$ $\chi^{f} = \frac{\pi}{2}$;

(c)

telgpöörded vastupidises järjestuses $\chi = \frac{\pi}{2}$ $\Rightarrow$ $\varphi = \frac{\pi}{2}$.

Joonis D.8. Jälgiv ja semitangentsiaalne pööre

Näitame, et semitangentsiaalsete pöörete järjestusest $\mathbf{T}\left(\mathbf{{\chi}^{s}}\right)$ $\Rightarrow$ $\mathbf{T}\left(\mathbf{{\varphi}^{s}}\right)$ või $\mathbf{T}\left(\mathbf{{\varphi}^{s}}\right)$ $\Rightarrow$ $\mathbf{T}\left(\mathbf{{\chi}^{s}}\right)$ ei sõltu lõpptulemus:

$$\mathbf{T}\left(\mathbf{{\chi}^{s}}\right)\mathbf{T}\left(\mathbf... ...bf{T}\left(\mathbf {{\chi}^{f}}\right)\mathbf{T}\left({\varphi}\right)\right] =$$

$$= \frac{1}{2}\left[\mathbf{T}\left(\mathbf{{\chi}}\right) \mathbf... ...}\left(\mathbf{{\varphi}^{s}}\right)\mathbf{T}\left(\mathbf {{\chi}^{s}}\right)$$ (D.36)

Siin kasutasime joonisel D.9 olevat võrdust

$$\mathbf{T}\left(\mathbf{{\chi}^{f}}\right)\mathbf{T}\left(\mathbf... ...\mathbf{T}\left(\mathbf{{\varphi}}\right)\mathbf{T}\left(\mathbf{{\chi}}\right)$$ (D.37)

Joonis D.9. Semitangentsiaalsete pöörete kommutatiivsus

Semitangentsiaalsete pöörete reeglid

Semitangentsiaalsete pöörete puhul tuleb vahet teha järgmistel juhtudel (jn D.10):

(a)

koordinaadid pöörduvad, kuid ristlõige ei pöördu;

(b)

nii koordinaadid kui ka ristlõige pöörduvad;

(c)

ristlõige pöördub, kuid koordinaadid ei pöördu.

Joonis D.10. Semitangentsiaalsete pöörete reeglid

Alustame lihtsaima juhuga, kus koordinaadid pöörduvad, kuid ristlõige ei pöördu. Koordinaatide teisendus tehakse vektoritega $\mathbf{\varphi}$ = $\left\{{\varphi}, {\chi}, {\psi}\right\}$ ja $\mathbf{\varphi}^{\ast}$ = $\left\{ {\varphi}^{\ast},{\chi}^{\ast}, {\psi}^{\ast}\right\}$.

$$\mathbf{\varphi}^{\ast} = \left(\mathbf{I}_{3} + \mathbf{T}_{R}\right) \mathbf{\varphi}$$ (D.38)

kus $\mathbf{I}_{3}$ on $3\times 3$ ühikmaatriks ja

$$\mathbf{T}_{R} = \left[ \begin{array}{ccc} 0 & {\rho}_{06} & ... ...rho}_{04} \\ {\rho}_{05} & -{\rho}_{04} & 0 \end{array}\right]$$ (D.39)

Teisenduse (D.38) maatrikskuju:

$$\left[ \begin{array}{c} {\varphi}^{\ast} \\ {\chi}^{\ast} \\ {\... ...ight]\left[ \begin{array}{c} {\varphi} \\ {\chi} \\ {\psi} \end{array}\right]$$ (D.40)

Tasandilisel juhul ${\chi} = 0$, ${\rho}_{06} = 0$ (jn D.10 a) teeme teisenduse

$${\varphi}^{\ast} = {\varphi} - {\rho}_{05}{\psi}$$

$${\psi}^{\ast} = {\psi} + {\rho}_{05}{\varphi}$$ (D.41)

Koordinaatide ja ristlõike samaaegsel pöördumisel

$$\mathbf{\varphi}^{\ast} = \left(\mathbf{I}_{3} + \frac{1}{2} \mathbf{T}_{R}\right)\mathbf{\varphi}$$ (D.42)

kus $\mathbf{T}_{R}$ on antud avaldisega (D.39). Tasandilisel juhul ${\chi} = 0$, ${\rho}_{06} = 0$ (jn D.10 b)

$${\varphi}^{\ast} = {\varphi} - \frac{1}{2}{\rho}_{05}{\psi}$$

$${\psi}^{\ast} = {\psi} + \frac{1}{2}{\rho}_{05}{\varphi}$$ (D.43)

Kui koordinaadid ei pöördu ja ristlõige pöördub (jn D.10 c), siis

$$\mathbf{\varphi}^{\ast} = \left(\mathbf{I}_{3} - \frac{1}{2} \mathbf{T}_{R}\right)\mathbf{\varphi}$$ (D.44)

Tasandilisel juhul ${\chi} = 0$, ${\rho}_{06} = 0$ (jn D.10 c) teeme teisenduse

$${\varphi}^{\ast} = {\varphi} + \frac{1}{2}{\rho}_{05}{\psi}$$

$${\psi}^{\ast} = {\psi} - \frac{1}{2}{\rho}_{05}{\varphi}$$ (D.45)