1.8 Kooldenihkepinged ja pikikoormus

Järgnevalt tuletame diferentsiaalvõrrandi, kui õhukeseseinaline varras on koormatud pikikoormusega $n\left(x\right)$ (jn 1.16). Näitame, et pikikoormuse $n\left(x\right)$ olemasolul ei kehti avaldis (1.42), s.t ${\mathrm{d}B_{\omega}}/{\mathrm{d}x} \neq {T_{\omega}}$ [Bõt62].

Vaatleme õhukeseseinalise varda elementi ABCD mõõtmetega $dx\times ds$ (jn 1.16), kus $\mathrm{d}s$ on keskjoone diferentsiaal (jn A.2).

Joonis 1.16. Pikikoormus

Vaadeldaval elemendil läbib pikikoormus $n\left(x\right)$ ristlõike punkti $P\left( y_{p}, z_{p}, \omega_{p}\right)$. Siin on $\omega_{p}$ punkti $P$ sektorkoordinaat (jn A.2). Ristlõike paksuse suunas ebaühtlaselt jaotatud nihkepingete (vabaväände, St. Venant'i nihkepingete) mõju tähistame jaotatud väändemomendina $m_{\tau}$.

$$\int_{A} m_{\tau} \mathrm{d}s = T_{t}$$ (1.57)

kus T_t on vabaväändemoment.

Ristlõikes mõjuvad veel kooldenormaalpinged σ_ω ja kooldenihkepinged τ_ω . Koostame vaadeldava elemendi tasakaaluvõrrandi x-teljele:

$$\sum X = 0, \quad \int_{A^{\ast}}\frac{\left( \partial \sigma_{\o... ...ght)\mathrm{d}x + \tau_{\omega}\hspace*{1pt}\delta \hspace*{1pt}\mathrm{d}x = 0$$ (1.58)

kus $A^{\ast} = \delta\hspace*{1pt}ds$ on lõikega eraldatud osa pindala.

Ristlõikes (koordinaat $x$ on fikseeritud) on elemendi paksus $\delta$ koordinaadi $s$ funktsioon, mis lubab $\delta$ tuua osatuletise märgi alt välja. Jagades avaldise ka $dx$-iga, saame

$$\sum X = 0, \quad \int_{A^{\ast}}\frac{ \partial \sigma_{\omega}}... ...space*{1pt}\mathrm{d}A + n\left(x\right) + \tau_{\omega}\hspace*{1pt}\delta = 0$$ (1.59)

Asendame siin kooldenormaalpinged σ_ω nende avaldisega (1.15)

$$\sigma_{\omega} = -\hspace*{1pt}E\hspace*{1pt}\omega\hspace*{1pt}\theta^{\prime\prime}$$ (1.60)

Nüüd

$$-\hspace*{1pt}E\hspace*{1pt}\hspace*{1pt}\theta^{\prime\prime\pri... ...space*{1pt}\mathrm{d}A + n\left(x\right) + \tau_{\omega}\hspace*{1pt}\delta = 0$$ (1.61)

millest avaldame kooldenihkepinged τ_ω ::

$$\tau_{\omega} = \frac{1}{\delta}\left[E\hspace*{1pt}\theta^{\prim... ...me\prime}\int_{A^{\ast}}\omega\hspace*{1pt}\mathrm{d}A - n\left(x\right)\right]$$ (1.62)

Kooldeväändemomendi T_ω arvutame vastavalt avaldisele (1.28):

$${T_{x\hspace*{1pt}\omega}} = \int_{A}\tau_{\omega}\hspace*{1pt}\d... ...hrm{d}s = \int_{A}\tau_{\omega}\hspace*{1pt}\delta\hspace*{1pt}\mathrm{d}\omega$$ (1.63)

Siin on tehtud asendus $\mathrm{d} A = r\hspace*{1pt}\mathrm{d}s = \mathrm{d}\omega$ (vt (A.1)).

Asendame kooldenihkepinged valemis (1.63) nende avaldisega (1.62):

$${T_{x\hspace*{1pt}\omega}} = \int_{A}\left[E\hspace*{1pt}\theta^{... ...\ast}}\hspace*{1pt}\omega\mathrm{d}A - n\left(x\right)\int_{A} \mathrm{d}\omega$$ (1.64)

Integreerime esimest integraali ositi:

$$\int_{A}\hspace*{2pt} {\mathrm{d}\omega} {\int_{A}\omega\mathrm{d... ...}{\int_{A}\omega\mathrm{d}A} - \int_{A}{\omega}\hspace*{2pt}{\omega\mathrm{d}A}$$ (1.65)

Kui sektorkoordinaat $\omega$ algab peanullpunktist, siis võrdub kogu ristlõike staatiline sektormoment nulliga: ${\int_{A}\omega\mathrm{d}A} = 0$ (vt avaldist (1.29)).

Kooldeväändemomendi $T_{\omega}$ saab nüüd esitada kujul

$$T_{\omega} = - EI_{\omega}\hspace*{1pt}\theta^{\prime\prime\prime} - n\left(x\right)\hspace*{1pt}\omega$$ (1.66)

kus

• I_ω – sektorinertsimoment (A.60);
• ω – sektorkoordinaat ristlõike punktile $P\left( y_{p}, z_{p}, \omega_{p}\right)$, mida läbib pikikoormuse $n\left(x\right)$ mõjusirge (jn 1.16).

Diferentseerime bimomenti B_ω (1.19) x-koordinaadi järgi:

$$\frac{ \mathrm{d}B_{\omega}}{\mathrm{d}x} = -\hspace*{1pt}E\hspace*{1pt}I_{\omega}\theta^{\prime\prime\prime}$$ (1.67)

Asendame nüüd $- EI_{\omega}\hspace*{1pt}\theta^{\prime\prime\prime}$ avaldises (1.66) bimomendi tuletisega (1.67):

$$T_{\omega} = \frac{ \mathrm{d}B_{\omega}}{\mathrm{d}x} - n\left(x\right)\hspace*{1pt}\omega$$ (1.68)

Siit

$$T_{\omega} \neq \frac{ \mathrm{d}B_{\omega}}{\mathrm{d}x}$$ (1.69)

Varem saadud avaldis ${\mathrm{d}B_{\omega}}/{\mathrm{d}x} = {T_{\omega}}$ (1.42) ei kehti koormamisel pikikoormusega $n\left(x\right)$.