2.1.2 Väändenurga elastse joone diferentsiaalvõrrand pikikoormusel

Koostame elemendile ABCD (jn 1.16) mõjuvate jõudude momentide võrrandi elastse telje O-O suhtes:

$$\sum M_{o-o} = 0, \qquad - \int_{A}\frac{\left( \partial \tau_{\o... ... \partial m_{\tau}}{\partial x}\hspace*{1pt}\mathrm{d}x{\mathrm{d}s} = 0 \qquad$$ (2.12)

kus r on pooluse $C_{k}$ kaugus keskjoone puutujast (vt ka jn A.2).

Taandame võrrandi (2.12) $\mathrm{d}x$-iga ja asendame $r\hspace*{1pt}{\mathrm{d} s}$ sektorkoordinaadi diferentsiaaliga $\mathrm{d}\omega$ (vt jaotis ):

$$\int_{A}\delta\hspace*{1pt}\frac{ \partial \tau_{\omega}}{\partia... ...{\partial x}\hspace*{1pt}\int_{A} m_{\tau}\hspace*{1pt}{\mathrm{d}s} = 0 \qquad$$ (2.13)

Saadud võrrandi teise liikme teisendamisel arvestame seost (1.57) ja vabaväändemomendi T_t avaldist (1.1):

$$\frac{ \partial}{\partial x}\hspace*{1pt}\int_{A} m_{\tau}\hspace... ... = \frac{ \partial}{\partial x}\hspace*{1pt}T_{t} = GI_{t}\theta^{\prime\prime}$$ (2.14)

Kooldenihkepingete avaldise (1.62) ja avaldise (2.14) kasutamine võimaldab võrrandi (2.13) esitada järgmisel kujul:

$$\int_{A}\left[E{\hspace*{1pt}}\theta^{IV}\int_{A^{\ast}}\omega\hs... ...left(x\right)\right]{\mathrm{d}\omega} + GI_{t}\theta^{\prime\prime} = 0 \qquad$$ (2.15)

Kirjutame viimase võrrandi kujule

$$E{\hspace*{1pt}}\theta^{IV}\int_{A}{\mathrm{d}\omega}\int_{A^{\as... ...prime}\left(x\right){\mathrm{d}\omega} + GI_{t}\theta^{\prime\prime} = 0 \qquad$$ (2.16)

Võrrandi (2.16) esimest liiget ositi integreerides (vt avaldis (1.65)) saame

$$E{\hspace*{1pt}}\theta^{IV}\int_{A}\left( {\omega}\hspace*{2pt}{\... ...ht) - n^{\prime}\left(x\right){\omega} + GI_{t}\theta^{\prime\prime} = 0 \qquad$$ (2.17)

Kui sektorkoordinaadi $\omega$ algus on sektorkoordinaadi peanullpunktis, siis võrdub kogu ristlõike staatiline sektormoment nulliga: ${\int_{A}\omega\mathrm{d}A} = 0$ (1.29). Nüüd võtab võrrand (2.17) kuju

$$EI_{\omega}{\hspace*{1pt}}\theta^{IV} - GI_{t}\theta^{\prime\prime} + n^{\prime}\left(x\right){\omega} = 0 \qquad$$ (2.18)

Jagame saadud võrrandi kooldejäikusega EI_ω:

$$\theta^{IV} -{\kappa^{2}}\hspace*{1pt}\theta^{\prime\prime} + \frac{n^{\prime}\left(x\right){\omega}}{EI_{\omega}} = 0 \qquad$$ (2.19)

kus κ on kooldekarakteristik

$${\kappa} = {}\hspace*{1pt}\sqrt{\frac{GI_{t}}{E\hspace*{1pt}I_{\omega}}}$$ (2.20)

Siin on EI_ω kooldejäikus ja GI_t vabaväändejäikus.