2.1.4 Homogeenne diferentsiaalvõrrand

Homogeense diferentsiaalvõrrandi

$${\theta}^{IV} - \hspace*{1pt}{{\kappa}}^{2}{\theta}^{\prime\prime} = 0$$ (2.23)

normeerimata lahendite süsteemi otsime järgmisel kujul:

$${\theta}_{1}^{\ast} = 1, \quad {\theta}_{2}^{\ast} = x, % \quad {... ...ace*{1pt}\kappa x, \quad {\theta}_{4}^{\ast} = \mathrm{sh}\hspace*{1pt}\kappa x$$ (2.24)

kus ${\kappa} = {\sqrt{\frac{GI_{t}}{E\hspace*{1pt}I_{\omega}}}}$.

Lahendite süsteemi (2.24) normeerimiseks kirjutame välja Wronski^2.2 determinandi^2.3:

$$W\left(x\right) = {\left\vert\begin{array}{cccc} 1 & x & \mathrm{... ...}^{3}\hspace*{1pt}\mathrm{ch}\hspace*{1pt}{{\kappa x}} \end{array}\right\vert }$$ (2.25)

Wronski determinandi $W$ väärtus kohal $x = 0$:

$$W\left(0\right) = \left\vert \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 0 \v... ...appa}^{2} & 0 \vspace*{1pt} \\ 0 & 0 & 0 & {\kappa}^{3} \end{array}\right\vert$$ (2.26)

Selleks et determinandi (2.26) väärtus oleks üks, teeme teisendused:

• lahutame kolmandast veerust esimese veeru ja korrutame tulemuse suurusega $\left(1/\kappa\hspace*{1pt}\right)^{2}$;
• lahutame neljandast veerust $\kappa\hspace*{1pt}$-ga korrutatud teise veeru, seejärel korrutame neljanda veeru suurusega $\left(1/\kappa\hspace*{1pt}\right)^{3}$.

Tulemuseks on ühikmaatriks

$$W\left(0\right) = \left\vert \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right\vert = 1$$ (2.27)

Teeme sarnase teisenduse normeerimata lahendite süsteemiga (2.25):

• lahutame kolmandast veerust esimese veeru ja korrutame tulemuse suurusega $\left(1/\kappa\hspace*{1pt}\right)^{2}$;
• lahutame neljandast veerust $\kappa\hspace*{1pt}$-ga korrutatud teise veeru, seejärel korrutame neljanda veeru suurusega $\left(1/\kappa\hspace*{1pt}\right)^{3}$.

Saame normeeritud lahendite fundamentaalsüsteemi:

$$\begin{array}{ll} {\theta}_{1} = 1, & {\theta}_{2} = x, \vspa... ...\hspace*{1pt}} -{{{\kappa x}}\hspace*{1pt}}\right)} \end{array}$$ (2.28)

Varda sisejõudude leidmisel kasutatakse rajajõudude (kontaktjõudude)

märgikokkulepet (jn 1.17). Esimese märgikokkuleppe puhul

$${\theta}_{0} = {\theta}_{0}, \quad {\theta}_{0}^{\prime} = { \fra... ...\prime} = - { \frac{{T ^{\left( 0\right)}_{\omega}}}{E\hspace*{1pt}I_{\omega}}}$$ (2.29)

ja teise märgikokkuleppe korral

$${\theta}_{0} = {\theta}_{0}, \quad {\theta}_{0}^{\prime} = - { \f... ...me\prime} = { \frac{{T ^{\left( 0\right)}_{\omega}}}{E\hspace*{1pt}I_{\omega}}}$$ (2.30)

Homogeense diferentsiaalvõrrandi üldlahend esimese märgikokkuleppe puhul on

$${\theta} = {\theta}_{0} +\hspace*{1pt}{ \frac{{T ^{\left( 0\right... ...pace*{1pt}{{\kappa x}\hspace*{1pt}} -{{{\kappa x}}\hspace*{1pt}}\right) } \quad$$ (2.31)

ning teise märgikokkuleppe korral

$${\theta} = {\theta}_{0} -\hspace*{1pt}{ \frac{{T ^{\left( 0\right... ...pace*{1pt}{{\kappa x}\hspace*{1pt}} -{{{\kappa x}}\hspace*{1pt}}\right) } \quad$$ (2.32)

Asendame avaldises (2.32) kooldejäikuse pöördväärtuse (1/ $E\hspace*{1pt}I_{\omega}$) seosega (2.9) ( ${1}/{E\hspace*{1pt}I_{\omega}} = {\kappa}^{2}/{GI_{t}}$).

$$\theta \hspace*{1pt} = {\theta}_{0} - { \frac{{T ^{\left( 0\right)}_{x\hspace*{1pt}t}}}{... ...e*{1pt}{{{\kappa x}}\hspace*{1pt}} -{{{\kappa x}}\hspace*{1pt}}\right) } \qquad$$ (2.33)

$${\theta}^{\prime} \hspace*{1pt} = 0\hspace*{3pt} - \hspace*{1pt}{ \frac{{T ^{\left( 0\right)}_{x\hs... ...m{ch}\hspace*{1pt}{{{\kappa x}}\hspace*{1pt}} -{{\kappa}\hspace*{1pt}}\right) }$$ (2.34)

$${\theta}^{\prime\prime} \hspace*{1pt} = 0\hspace*{3pt} +\hspace*{8pt} 0\hspace*{18pt} + {\hspace*{1pt} \f... ...t}{{\kappa}\hspace*{1pt}} \mathrm{sh}\hspace*{1pt}{{{\kappa x}}\hspace*{1pt}} }$$ (2.35)

$${\theta}^{\prime\prime\prime} = 0\hspace*{3pt} +\hspace*{8pt} 0\hspace*{18pt} + {\hspace*{1pt} \f... ...\hspace*{1pt}{\kappa^{2}} \mathrm{ch}\hspace*{1pt}{{{\kappa x}}\hspace*{1pt}} }$$ (2.36)