A.2.2 Simpsoni valem

Simpsoni ^{A.2 A.3} valemi puhul jagame pideva funktsiooni $f\left(x\right)$ integreerimisel lõigu $\left[ a, b \right]$ pikkusega l pooleks (l/2 ja l/2). Siis

$$I = \int^{b}_{a}f\left(s\right)\mathrm{d}s = \frac{l}{6}\left[f\left(a\right) + 4\cdot f\left(c\right) + f\left(b\right)\right]$$ (A.14)

kus

$f\left(a\right)$– funktsiooni väärtus lõigu alguses;

$f\left(c\right)$– funktsiooni väärtus lõigu keskel;

$f\left(b\right)$– funktsiooni väärtus lõigu lõpus.

Simpsoni valem (A.14) annab täpse tulemuse kuni kuuppolünoomini. Integreerimisvahemiku a-b jagamisel paarisarvuliseks n võrdseks osaks $\Delta s = l/n$ võtab Simpsoni valem kuju

$$I = \int^{b}_{a}f\left(s\right)\mathrm{d}s \approx \frac{\Delta s}{3}\left[f_{0} + 4\cdot f_{1} + 2\cdot f_{2} + 4\cdot f_{3} + 2\cdot f_{4} + \ldots \right.$$

$${ } \left. \ldots + 2\cdot f_{n-2} +4\cdot f_{n-1} + f_{n}\right]$$ (A.15)

Joonis A.9. Märgid Simpsoni valemis

Joonisel A.9 a on funktsioonide $f\left( s\right)$ ja $\varphi\left( s\right)$ epüüride ordinaadid sama märgiga. Joonisel A.9 b on funktsioonide ordinaatidel epüüride otstes erinevad märgid. Korrutise integraali arvutamiseks rakendame Simpsoni valemit (A.14)

$$I = \int^{b}_{a}f\left( s\right)\varphi\left( s\right)\mathrm{d}s... ...}{6}\left[ \varphi_{a}f_{a} + 4\cdot \varphi_{c}f_{c} + \varphi_{b}f_{b}\right]$$ (A.16)

Siin on korrutised $\varphi_{a}f_{a}$, $\varphi_{c}f_{c}$ ja $\varphi_{b}f_{b}$ positiivsed, kui epüüride ordinaadid on varda samal poolel, ja negatiivsed, kui epüüride ordinaadid on vastandmärkidega. Näiteks joonisel A.9 b on lõigu algul (punktis a) ja lõpus (punktis b) epüüride ordinaatide korrutis negatiivne, kuna ordinaadid on suunatud eri poole. Lõigu keskel (punktis c) on ordinaatide korrutis positiivne. Simpsoni valem (A.16) annab täpse tulemuse lineaarsete epüüride ning lineaarse ja ruutparaboolse epüüri korrutamisel. Kõrgemat järku epüüride puhul tuleb kasutada Simpsoni 3/8-valemit (A.22).

Numbrilisel integreerimisel Simpsoni valemiga (A.16) kasutame arvutusprogrammi GNU Octave. Korrutame vektorid a (A.17) ja b (A.18) elementide kaupa (Hadamard'i^A.4 korrutis) ^A.5. Korrutamise tulemuseks on avaldis (A.19).

$$\mathbf{a} = \left[\varphi_{a}\quad \varphi_{c}\quad \varphi_{b}\right]$$ (A.17)

$$\mathbf{b} = \left[f_{a}\quad f_{c}\quad f_{b}\right]$$ (A.18)

$$\mathbf{a.^{\ast}b} = \left[\varphi_{a}\cdot f_{a}\quad \varphi_{c}\cdot f_{c}\quad \varphi_{b}\cdot f_{b}\right]$$ (A.19)

Võtame kasutusele Simpsoni valemi kordajaid sisaldava vektori $\mathrm{\mathbf{spH}}$, mille transponeeritud kuju on

$$\mathbf{spH}^{\prime} = \frac{l}{6}\left[1\quad 4\quad 1\right]$$ (A.20)

Elementi elemendiga korrutades saadud tulemuse (A.19) korrutame skalaarselt vektoriga (A.20). Tulemuseks on Simpsoni valem (A.16)

$$\mathbf{a.^{\ast}b\cdot spH} = \frac{l}{6}\left[\varphi_{a}\cdot f_{a}\quad \varphi_{c}\cdot... ...cdot \varphi_{c}f_{c} + \varphi_{b}f_{b}\right] \quad\quad\quad$$ (A.21)