D.6.3 Suured pöörded ja kvaternioonid

Eesmärgiks on üles ehitada pöörete pseudovektor $\left\{\mathbf {\theta}_{n+1}\right\}$ eelmisest pseudovektorist $\left\{\mathbf{\theta}_{n}\right\}$ juurdekasvu (inkremendi) $\left\{\mathbf{\Delta\theta}\right\}$ abil. Argyris [Arg82] kasutas pöörete pseudovektori moodustamiseks kvaternioone^7.4.

Kvaternioonide [BŠ73] mõiste võttis kasutusele W. R. Hamilton^7.5 1843. aastal. Kvaternioonid ^7.6 on defineeritud skaalari ja vektori summana [ANS92]:

$$\langle q\rangle = a + \left\{\mathbf{b}\right\}$$ (D.65)

kus sulud $\langle$ $\rangle$ tähistavad kvaterniooni. Kvaterniooni $\langle$q$\rangle$ skalaarne ja vektoriaalne osa on $a$ ning $\left\{\mathbf{b}\right\}$. Kvaterniooni $\langle$q$\rangle$ norm ${\vert}q{\vert}$ arvutatakse järgmiselt:

$${\vert}q{\vert} = \sqrt{a^{2} + b^{2}_{1} + b^{2}_{2} + b^{2}_{3}}$$ (D.66)

kus $b_{1}$, $b_{2}$ ja $b_{3}$ on vektori $\left\{\mathbf{b}\right\}$ komponendid. Kui ${\vert}q{\vert} = 1$, siis $\langle$q$\rangle$ on ühikkvaternioon.
Olgu $\langle q_{1}\rangle$ ja $\langle q_{2}\rangle$ kaks kvaterniooni:

$$\langle q_{1}\rangle = a + \left\{\mathbf{b}\right\}$$ (D.67)

$$\langle q_{2}\rangle = c + \left\{\mathbf{d}\right\}$$ (D.68)

Kvaternioonide korrutis $\langle q_{1{\,}2}\rangle$ avaldub viisil

$$\langle q_{1{\,}2}\rangle {\,} = {\,}\langle q_{1}\rangle\langle ... ...\{\mathbf{b}\right\}{\hspace*{2pt}\times\hspace*{2pt}}\left\{\mathbf{d}\right\}$$ (D.69)

Kvaterniooni $\langle q_{1{\,}2}\rangle$ skalaarne $\mathbf{S} \left(q_{1{\,}2}\right)$ ja vektoriaalne $\left\{\mathbf{V} \left(q_{1{\,}2}\right)\right\}$ osa:

$$\mathbf{S}\left(q_{1{\,}2}\right) = ac + \left\{\mathbf{b}^{T}\right\} \left\{\mathbf{d}\right\}$$ (D.70)

$$\left\{\mathbf{V}\left(q_{1{\,}2}\right)\right\} = c\left\{\mathbf{b}\right\} + a\left\{\mathbf{d}\right\} - \left\{\mathbf{b}\right\}{\hspace*{2pt}\times\hspace*{2pt}}\left\{\mathbf{d}\right\}$$ (D.71)

Argyris [Arg82, lk 150] esitab pseudovektori kujul

$$\langle q\rangle = \cos\frac{\theta}{2} + \sin\frac{\theta}{2} \left\{\mathbf{e}\right\}$$ (D.72)

Siin on $\langle$q$\rangle$ ühikkvaternioon. Avaldiste (D.52), (D.50) abil saame pseudovektori (D.72) kujul

$$\langle q\rangle = \cos\frac{\theta}{2} + \frac{1}{2}\left\{\mathbf{e}\right\}$$ (D.73)

Pseudovektori moodustamisel vaatleme pöördeid $\left\{\mathbf{\theta}_{n}\right\}$ ja $\left\{{\Delta}\mathbf{\theta}\right\}$:

$$\langle q_{n}\rangle = \cos\frac{\theta_{n}}{2} + \frac{1}{2}\left\{ \mathbf{\omega}_{n}\right\}$$ (D.74)

$$\langle {\Delta}q\rangle = \cos\frac{{\Delta}\theta}{2} + \frac{1}{2}\left\{ {\Delta}\mathbf{\omega}\right\}$$ (D.75)

kus $\left\{\mathbf{\omega_{n}}\right\}$ on normaliseeritud $\left\{ \mathbf{\theta_{n}}\right\}$ ja $\left\{{\Delta}\mathbf{\omega}\right\}$ on normaliseeritud $\left\{{\Delta}\mathbf{\theta}\right\}$.

Pseudovektori $\langle q_{n+1}\rangle$ moodustamiseks kasutatakse kvaternioonide korrutamist (D.69):

$$\langle q_{n+1}\rangle = {\,} \langle {\Delta}q\rangle\langle q_{... ...\left\{\mathbf{\omega}_{n}\right\}^{T}\left\{{\Delta} \mathbf{\omega}\right\} +$$

$$+ \frac{1}{2}\cos\frac{{\Delta}\theta}{2}\left\{\mathbf{\omega_{n... ...ight\}{\hspace*{2pt}\times\hspace*{2pt}}\left\{{\Delta} \mathbf{\omega}\right\}$$ (D.76)

Pseudovektor $\langle q_{n+1}\rangle$ on ühikvektor, sest $\langle {\Delta}q\rangle$ ja $\langle q_{n}\rangle$ on ühikkvaternioonid. Pseudovektori $\langle q_{n+1}\rangle$ saab esitada kahel viisil:

$$\langle q_{n+1}\rangle = \cos\frac{\theta_{n+1}}{2} + \frac{1}{2}\left\{ \mathbf{\omega}_{n+1}\right\}$$ (D.77)

$$\langle q_{n+1}\rangle = \cos\frac{\theta_{n+1}}{2} + \sin\frac{ \theta_{n+1}}{2}\left\{\mathbf{e}_{n+1}\right\}$$ (D.78)

Määrame kvaterniooni (D.76) skalaarse ja vektoriaalse osa:

$$\mathbf{S}\left(q_{n+1}\right) = \cos\frac{\theta_{n+1}}{2} = \co... ...thbf{\omega}_{n}\right\}^{T}\left\{\Delta \mathbf{\omega}\right\} \qquad \qquad$$ (D.79)

$$\left\{\mathbf{V}\left(q_{n+1}\right)\right\} = \frac{1}{2} \left... ...eft\{\mathbf{\omega}_{n}\right\}{\times}\left\{{\Delta} \mathbf{\omega}\right\}$$ (D.80)

Pöörded ${\theta}_{n+1}$ ja $\left\{\mathbf{\omega}_{n+1}\right\}$ leiame võrranditest (D.79) ja (D.80).

Tuleb arvestada, et nurk ${\theta}$ on piiratud pöördega $\pm \pi$. See piirang tuleneb siinusest, mille määramispiirkond on $0\dots\pi$. Kui $\vert\theta\vert$ on suurem kui $\pi$, siis

$${\theta}^{\ast} = \left\{ \begin{array}{rcl} \theta & kui\ens... ...theta & kui\enspace \vert\theta\vert & > \pi \end{array}\right.$$ (D.81)