D.6.1 Suurte pöörete maatriksesitus

Lõplikud pöörded, nii nagu siirdedki, ei ole lineaarsed ega lihtsalt liidetavad. Geomeetriliselt mittelineaarses teoorias defineeris Argyris [Arg82] pöörde pseudovektori, mis on kasutusel näiteks programmipaketis ANSYS [ANS92].

$$\left\{\mathbf{\theta}\right\} = \left\{{\varphi}\enspace{\chi}\enspace {\psi}\right\}^{T} = {\theta}\mathbf{e}$$ (D.46)

kus ${\varphi}$, ${\chi}$, ${\psi}$ on pöörde $\mathbf{\theta}$ komponendid ristkoordinaadistikus $Oxyz$.

$${\theta} = \sqrt{{\varphi}^{2} + {\chi}^{2} + {\psi}^{2}}$$ (D.47)

ja $\mathbf{e}$ on pöörde teljesuunaline ühikvektor (jn D.11).

Joonis D.11. Pseudovektor

Pöörete abimaatriks on

$$\left[\mathbf{S}\right] = \left[ \begin{array}{ccc} 0 & -{\ps... ...& 0 & -{\varphi} \\ -{\chi} & {\varphi} & 0 \end{array}\right]$$ (D.48)

Leiame pöörete teisendusmaatriksi $\mathbf{T}\left(\theta\right)$ nii, et kohavektor $\mathbf{p}$ pöörduks uude asukohta $\mathbf{\hat{p}}$ (jn D.11):

$$\mathbf{\hat{p}} = \mathbf{T}\left(\theta\right)\mathbf{p}$$ (D.49)

Teisendusmaatriks $\mathbf{T}\left(\theta\right)$ on mittelineaarne funktsioon pöördest $\theta$.

Normeerime pöörete pseudovektori nii:

$$\left\{\mathbf{\varpi}\right\} = {\omega}\left\{\mathbf{e}\right\}$$ (D.50)

kus $\left\{\mathbf{\varpi}\right\}$ on pöörde pseudovektor pikkusega ${\omega}$ ja komponentidega ${\omega}_{1}$, ${\omega}_{2}$ ja ${\omega}_{3}$. Kasutame Rankini ja Brogani [RB86] normaliseerimist

$${\omega} = 2\,\sin\frac{\theta}{2}$$ (D.51)

mis seob ${\theta}$ ja ${\omega}$:

$$\left\{\mathbf{\varpi}\right\} = 2\,\sin\frac{\theta}{2} \left\{\mathbf{e}\right\}$$ (D.52)

Teisendusmaatriks $\mathbf{T}$ [RB86] on seoses pöördega $\left\{\mathbf{\varpi}\right\}$ või pöördega $\left\{\mathbf{\theta}\right\}$.

$$\left[\mathbf{T}\right] = \left[\mathbf{I}_{3}\right] + \sqrt{1 -... ...2}\right)^{2}}\left[\mathbf{T}\right] + \frac{1}{2}\left[\mathbf{\Omega}\right]$$ (D.53)

kus $\mathbf{I}_{3}$ on $3\times 3$ ühikmaatriks ja ${\Omega}$ pöörete abimaatriks:

$$\left[\mathbf{\Omega}\right] = \left[ \begin{array}{ccc} 0 & ... ...ga}_{x} \\ -{\omega}_{y} & {\omega}_{x} & 0 \end{array}\right]$$ (D.54)

Kui pseudovektor on moodustatud ja normaliseeritud, siis määrame lõplike pöörete teisenduse võrrandi (D.53) abil. Vastupidi, kui lõplike pöörete teisendus on teada, siis määrame pseudovektori $\left\{\mathbf{\varpi}\right\}$ avaldisest

$$\left[\mathbf{\Omega}\right] = \frac{1}{\sqrt{1 + \gamma}} \left(\left[\mathbf{T}\right] - \left[\mathbf{T}\right]^{T}\right)$$ (D.55)

kus $\gamma$ on maatriksi $\left[\mathbf{T}\right]$ jälg:

$$\gamma = T_{1\,1} + T_{2\,2} + T_{3\,3}$$ (D.56)