D.6.2 Üksik pseudovektor

Argyris [Arg82] vaatleb järjestikuste pööretega ekvivalentset üksikut pseudovektorit $\theta$.

Määrame pseudovektori $\omega$:

$$\left\{\mathbf{\omega}\right\} = \left\{{\omega}_{x}\enspace {\om... ...y}\enspace{\omega}_{z}\right\} = \tan\frac{\theta}{2} \left\{\mathbf{e}\right\}$$ (D.57)

ja pseudovektorile $\left\{\mathbf{\omega}\right\}$ vastava abimaatriksi:

$$\left[\mathbf{\Omega}\right] = \left[ \begin{array}{ccc} 0 & ... ...\tan\frac{\theta}{2}}{\frac{\theta}{2}} \left[\mathbf{S}\right]$$ (D.58)

Vaatleme joonist D.12, kus punkt $M$ on lõigu $\overline{PP_{1}} = \mathbf{p}_{\Delta}$ keskpunkt. Lõik

$$\overline{AM} = \frac{1}{2}\left(\mathbf{p} + \mathbf{p}_{1}\right) \quad \mathrm{ehk} \quad \mathbf{p} + \mathbf{p}_{1} = 2\,\overline{AM}$$ (D.59)

Jooniselt näeme, et

$$\mathbf{p} + \mathbf{p}_{\Delta} = \mathbf{p}_{1} \quad \mathrm{ehk} \quad \mathbf{p}_{1} - \mathbf{p} = \mathbf{p}_{\Delta}$$ (D.60)

Joonis D.12. Üksik pseudovektor

Et lõik $\overline{CM}$ on risti lõiguga $\overline{PP_{1}}$, siis

$$\overline{PM} = \frac{1}{2}\mathbf{p}_{\Delta} = \overline{CM}\,\tan\frac{\theta}{2}$$ (D.61)

Kuna $\mathbf{p}_{\Delta}$ on risti pseudovektoriga $\omega$ ja $2\,\overline{AM} = \mathbf{p} + \mathbf{p}_{1}$, siis langeb ta kokku vektorkorrutisega $\mathbf{\omega} \times\left(\mathbf{p} + \mathbf{p}_{1}\right)$. Arvestades, et pseudovektori $\mathbf{\omega}$ ja lõigu $\overline{AM}$ vaheline nurk on $\alpha$, saame vektorkorrutise $\vert\mathbf{\omega}\times\left(\mathbf{p} + \mathbf{p}_{1}\right)\vert$ suuruseks

$$\sin{\alpha}{\cdot}\,\tan\frac{\theta}{2}{\cdot}2\,\overline{AM} ... ...,\overline{CM}{\cdot}\,\tan\frac{\theta}{2} = {\vert}\mathbf{p}_{\Delta}{\vert}$$ (D.62)

Siit saame seose

$$\mathbf{p}_{\Delta} = \mathbf{\omega}\times\left(\mathbf{p} + \mathbf{p}_{1}\right) = \mathbf{p}_{1} - \mathbf{p}$$ (D.63)

Võttes arvesse määrangu (D.58), saame seose (D.63) esitada kujul

$$\mathbf{p}_{1} - \mathbf{p} = \mathbf{\Omega}\left(\mathbf{p} + \mathbf{p}_{1}\right)$$ (D.64)

Siin veendusime korrutiste $\mathbf{\omega}\times\mathbf{p}$ ja $\mathbf{\Omega}\mathbf{p}$ samaväärsuses.